Qu'est-ce que le calculateur de valeurs propres 2×2 ?
Cet outil détermine les valeurs propres d'une matrice 2×2 [[a, b], [c, d]]. Les valeurs propres sont les scalaires \(\lambda\) pour lesquels il existe un vecteur non nul \(v\) tel que \(Av = \lambda v\). Elles décrivent la façon dont une transformation linéaire étire, comprime ou fait pivoter l'espace, et on les retrouve aussi bien en physique qu'en ingénierie, en statistiques ou dans les équations différentielles.
Comment l'utiliser
Saisissez les quatre coefficients de la matrice : a et b sur la première ligne, c et d sur la seconde. Le calculateur renvoie les deux valeurs propres. Si elles sont réelles, vous obtenez deux nombres réels ; si le discriminant est négatif, vous obtenez une paire complexe conjuguée notée \(p \pm qi\). La trace, le déterminant et le discriminant sont également affichés pour vous permettre de vérifier le résultat.
La formule expliquée
Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique \(\det(A - \lambda I) = 0\), qui, pour une matrice 2×2, se simplifie en \(\lambda^{2} - (\text{tr})\lambda + \det = 0\), avec la trace \(\text{tr} = a + d\) et le déterminant \(\det = ad - bc\). La résolution à l'aide de la formule du discriminant donne $$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^{2} - 4 \cdot \det}}{2}$$ La quantité sous la racine, \(\text{tr}^{2} - 4 \cdot \det\), est le discriminant : s'il est positif, il y a deux valeurs propres réelles distinctes ; s'il est nul, une valeur propre réelle double ; s'il est négatif, une paire complexe conjuguée.
Exemple résolu
Pour [[2, 1], [1, 2]] : \(\text{tr} = 2 + 2 = 4\), \(\det = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 3\), discriminant \(= 16 - 12 = 4\), \(\sqrt{4} = 2\). On obtient donc $$\lambda_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \quad \text{et} \quad \lambda_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1$$
Questions fréquentes
Que faire si les valeurs propres sont complexes ? Un discriminant négatif donne une paire conjuguée \(\frac{\text{tr}}{2} \pm \frac{\sqrt{4 \cdot \det - \text{tr}^{2}}}{2} \cdot i\). La matrice de rotation [[0, −1], [1, 0]] a une trace nulle et un déterminant égal à 1, ce qui donne \(\lambda = \pm i\).
Les deux valeurs propres peuvent-elles être égales ? Oui — lorsque le discriminant est exactement nul, la matrice possède une seule valeur propre double, égale à \(\text{tr}/2\).
Quel est le lien entre les valeurs propres, la trace et le déterminant ? Leur somme est égale à la trace et leur produit est égal au déterminant.
