2x2 Özdeğer Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

a (1. satır, 1. sütun)

b (1. satır, 2. sütun)

c (2. satır, 1. sütun)

d (2. satır, 2. sütun)

Sonuç

Özdeğer λ₁

3

real eigenvalue

Özdeğer λ₂	1
İz (a + d)	4
Determinant (ad − bc)	3
Diskriminant (iz² − 4·det)	4
Karmaşık mı?	No

2x2 Özdeğer Hesaplayıcı nedir?

Bu araç, bir 2×2 matrisin [[a, b], [c, d]] özdeğerlerini bulur. Özdeğerler, sıfırdan farklı bir v vektörü için \(Av = \lambda v\) eşitliğini sağlayan \(\lambda\) skalerleridir. Bir doğrusal dönüşümün uzayı nasıl gerdiğini, sıkıştırdığını ya da döndürdüğünü ortaya koyarlar; fizikten mühendisliğe, istatistikten diferansiyel denklemlere kadar pek çok alanda karşımıza çıkarlar.

Nasıl kullanılır?

Matrisin dört elemanını girin: birinci satıra a ve b, ikinci satıra c ve d. Hesaplayıcı her iki özdeğeri de verir. Özdeğerler reel ise iki reel sayı elde edersiniz; diskriminant negatifse \(p \pm qi\) biçiminde yazılan bir karmaşık eşlenik çift elde edersiniz. İz, determinant ve diskriminant da gösterilir; böylece sonucu kolayca kontrol edebilirsiniz.

Formülün açıklaması

Özdeğerler, \(\det(A - \lambda I) = 0\) karakteristik polinomunun kökleridir. Bir 2×2 matris için bu ifade \(\lambda^{2} - (\text{iz}) \cdot \lambda + \det = 0\) biçimine sadeleşir; burada \(\text{iz} = a + d\) ve determinant \(\det = ad - bc\)'dir. İkinci dereceden denklem formülüyle çözüldüğünde $$\lambda = \frac{\text{iz} \pm \sqrt{\text{iz}^{2} - 4 \cdot \det}}{2}$$ elde edilir. Kök içindeki \(\text{iz}^{2} - 4 \cdot \det\) ifadesi diskriminanttır: pozitifse iki farklı reel özdeğer, sıfırsa katlı (tekrarlanan) bir reel özdeğer, negatifse karmaşık bir eşlenik çift anlamına gelir.

Reklam

Diskriminantın işareti, özdeğerlerin gerçek mi yoksa karmaşık eşlenik çift mi olduğunu belirler.

Özdeğerler, 2x2 matrisin izi ve determinantından türetilir.

Çözümlü örnek

[[2, 1], [1, 2]] matrisi için: iz \(= 2 + 2 = 4\), det \(= 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 3\), diskriminant \(= 16 - 12 = 4\), \(\sqrt{4} = 2\). Buna göre $$\lambda_{1} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \quad\text{ve}\quad \lambda_{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1$$ olur.

Sık sorulan sorular

Özdeğerler karmaşıksa ne olur? Negatif bir diskriminant, \(\text{iz}/2 \pm (\sqrt{4 \cdot \det - \text{iz}^{2}}/2) \cdot i\) biçiminde bir eşlenik çift verir. Örneğin döndürme matrisi [[0, −1], [1, 0]] için iz 0, determinant 1'dir ve \(\lambda = \pm i\) sonucunu verir.

İki özdeğer eşit olabilir mi? Evet — diskriminant tam olarak sıfır olduğunda, matrisin \(\text{iz}/2\) değerinde tek bir katlı özdeğeri olur.

Özdeğerler iz ve determinantla nasıl ilişkilidir? Özdeğerlerin toplamı ize, çarpımı ise determinanta eşittir.