Máy Tính Trị Riêng Ma Trận 2x2

Nhập phép tính

a (hàng 1, cột 1)

b (hàng 1, cột 2)

c (hàng 2, cột 1)

d (hàng 2, cột 2)

Kết quả

Trị riêng λ₁

3

real eigenvalue

Trị riêng λ₂	1
Vết (a + d)	4
Định thức (ad − bc)	3
Biệt thức (tr² − 4·det)	4
Số phức?	No

Máy tính trị riêng ma trận 2x2 là gì?

Công cụ này giúp bạn tìm các trị riêng (eigenvalue) của một ma trận 2×2 dạng [[a, b], [c, d]]. Trị riêng là những số vô hướng λ mà tồn tại một vector v khác không thỏa mãn \(Av = \lambda v\). Chúng cho biết một phép biến đổi tuyến tính kéo giãn, nén lại hay xoay không gian như thế nào, và xuất hiện ở khắp nơi trong vật lý, kỹ thuật, thống kê và phương trình vi phân.

Cách sử dụng

Nhập bốn phần tử của ma trận: a và b ở hàng thứ nhất, c và d ở hàng thứ hai. Máy tính sẽ trả về cả hai trị riêng. Nếu chúng là số thực, bạn nhận được hai số thực; nếu biệt thức âm, bạn nhận được một cặp số phức liên hợp viết dưới dạng \(p \pm qi\). Vết (trace), định thức và biệt thức cũng được hiển thị để bạn dễ dàng kiểm tra lại kết quả.

Giải thích công thức

Trị riêng chính là nghiệm của đa thức đặc trưng \(\det(A - \lambda I) = 0\), mà với ma trận 2×2 sẽ rút gọn thành \(\lambda^{2} - (\text{tr})\lambda + \det = 0\), trong đó vết \(\text{tr} = a + d\) và định thức \(\det = ad - bc\). Giải bằng công thức nghiệm phương trình bậc hai ta được

$$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^{2} - 4\cdot\det}}{2}$$

Đại lượng dưới căn, \(\text{tr}^{2} - 4\cdot\det\), được gọi là biệt thức: dương nghĩa là có hai trị riêng thực phân biệt, bằng không nghĩa là có một trị riêng thực kép, còn âm nghĩa là có một cặp số phức liên hợp.

Quảng cáo

Dấu của biệt thức quyết định trị riêng là số thực hay cặp liên hợp phức.

Trị riêng được suy ra từ vết và định thức của ma trận 2x2.

Ví dụ minh họa

Với ma trận [[2, 1], [1, 2]]: \(\text{tr} = 2 + 2 = 4\), \(\det = 2\cdot2 - 1\cdot1 = 3\), biệt thức \(= 16 - 12 = 4\), \(\sqrt{4} = 2\). Vậy

$$\lambda_{1} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \qquad \lambda_{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1$$

Câu hỏi thường gặp

Nếu trị riêng là số phức thì sao? Khi biệt thức âm, ta được một cặp liên hợp \(\frac{\text{tr}}{2} \pm \frac{\sqrt{4\cdot\det - \text{tr}^{2}}}{2}\cdot i\). Ví dụ ma trận xoay [[0, −1], [1, 0]] có vết bằng 0 và định thức bằng 1, cho ra \(\lambda = \pm i\).

Hai trị riêng có thể bằng nhau không? Có — khi biệt thức bằng đúng 0, ma trận có một trị riêng kép duy nhất là \(\frac{\text{tr}}{2}\).

Trị riêng liên hệ với vết và định thức như thế nào? Tổng của chúng bằng vết, còn tích của chúng bằng định thức.