Máy tính giá trị riêng ma trận 2x2 là gì?
Giá trị riêng của một ma trận vuông A là một số vô hướng λ sao cho tồn tại vector khác không v thỏa mãn Av = λv. Công cụ này tìm cả hai giá trị riêng của bất kỳ ma trận 2x2 nào dạng A = [[a, b], [c, d]], xử lý được cả trường hợp giá trị riêng là số thực lẫn trường hợp chúng tạo thành một cặp liên hợp phức.
Cách sử dụng
Hãy nhập bốn phần tử của ma trận: a và b ở hàng thứ nhất, c và d ở hàng thứ hai. Máy tính sẽ xác định vết (trace), định thức (determinant) và biệt thức (discriminant), rồi trả về hai giá trị riêng. Nếu biệt thức âm, kết quả sẽ hiển thị dưới dạng cặp liên hợp phức \(x \pm yi\).
Giải thích công thức
Các giá trị riêng là nghiệm của phương trình đặc trưng \(\det(A - \lambda I) = 0\). Với ma trận 2x2, phương trình này được khai triển thành \(\lambda^2 - (\text{tr})\lambda + \det = 0\), trong đó vết \(\text{tr} = a + d\) và định thức \(\det = ad - bc\). Áp dụng công thức nghiệm bậc hai, ta được
$$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^2 - 4\cdot\det}}{2}$$Biểu thức dưới căn, \(\text{tr}^2 - 4\cdot\det\), chính là biệt thức: khi nó dương, hai giá trị riêng là hai số thực phân biệt; khi bằng không, ta có một giá trị riêng thực lặp lại; còn khi âm, hai giá trị riêng là cặp liên hợp phức.
Ví dụ minh họa
Với A = [[2, 1], [1, 2]]: \(\text{tr} = 4\), \(\det = 2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3\), biệt thức \(= 16 - 12 = 4\). Do đó
$$\lambda = \frac{4 \pm 2}{2}$$suy ra \(\lambda_1 = 3\) và \(\lambda_2 = 1\).
Câu hỏi thường gặp
Nếu biệt thức âm thì sao? Ma trận không có giá trị riêng thực; máy tính sẽ trả về cặp liên hợp phức \((\text{tr}/2) \pm (\sqrt{-\text{disc}}/2)i\).
Hai giá trị riêng có thể bằng nhau không? Có. Khi biệt thức bằng đúng không, cả hai giá trị riêng đều bằng \(\text{tr}/2\) (giá trị riêng lặp).
Giá trị riêng cho ta biết điều gì? Chúng cho biết phép biến đổi tuyến tính A kéo giãn không gian như thế nào dọc theo các hướng vector riêng, và đóng vai trò then chốt trong phân tích ổn định, phân tích thành phần chính (PCA) cũng như phương trình vi phân.
