2×2固有値計算ツールとは？
正方行列 A の「固有値」とは、ある非ゼロベクトル v に対して \(Av = \lambda v\) を満たすスカラー \(\lambda\) のことです。本ツールは、任意の 2×2 行列 \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) の 2 つの固有値を求めます。固有値が実数になるケースはもちろん、複素共役のペアになるケースにも対応しています。
使い方
行列の 4 つの成分を入力します。1 行目に a と b、2 行目に c と d を入れてください。ツールがトレース（対角和）・行列式・判別式を計算し、2 つの固有値を返します。判別式が負の場合は、結果が複素共役のペア \(x \pm yi\) の形で表示されます。
計算式の解説
固有値は特性方程式 \(\det(A - \lambda I) = 0\) の解として求まります。2×2 行列の場合、この式は \(\lambda^2 - (\text{tr})\lambda + \det = 0\) と展開できます。ここでトレース \(\text{tr} = a + d\)、行列式 \(\det = ad - bc\) です。二次方程式の解の公式を適用すると $$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^2 - 4\cdot\det}}{2}$$ となります。根号の中身 \(\text{tr}^2 - 4\cdot\det\) が判別式です。判別式が正なら 2 つの相異なる実数固有値、ゼロなら重複した実数固有値、負なら複素共役の固有値になります。
計算例
\(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\) の場合、\(\text{tr} = 4\)、\(\det = 2\cdot2 - 1\cdot1 = 3\)、判別式 \(= 16 - 12 = 4\) となります。したがって $$\lambda = \frac{4 \pm 2}{2}$$ より、\(\lambda_1 = 3\)、\(\lambda_2 = 1\) が得られます。
よくある質問
判別式が負のときは？ その行列に実数の固有値は存在せず、複素共役のペア \(\left(\frac{\text{tr}}{2}\right) \pm \left(\frac{\sqrt{-\text{disc}}}{2}\right)i\) が返されます。
固有値が等しくなることはありますか？ あります。判別式がちょうどゼロのとき、2 つの固有値はどちらも \(\frac{\text{tr}}{2}\) に一致します（重複固有値）。
固有値からは何がわかりますか？ 固有値は、線形変換 A が固有ベクトルの方向に空間をどれだけ伸縮させるかを表します。安定性解析、主成分分析（PCA）、微分方程式など、幅広い分野で中心的な役割を果たします。
