2×2行列の固有値計算ツールとは？
このツールは、任意の2×2行列 [[a, b], [c, d]] の固有値を求めます。固有値とは、\(Av = \lambda v\) がゼロでない解 \(v\) を持つようなスカラー \(\lambda\) のことです。2×2行列では固有値は必ず2つ（重複度を含む）存在し、その値は実数の場合もあれば、複素共役のペアになる場合もあります。本ツールでは2つの固有値に加えて、トレース（対角和）・行列式・判別式も表示するため、どのような計算過程で答えが導かれたのかをひと目で確認できます。
使い方
行列の4つの成分を入力します。1行目に a と b、2行目に c と d を入れて「計算」を押すだけです。判別式がゼロまたは正であれば実数の固有値が2つ求められ、負であれば複素共役のペア（\(p + qi\) と \(p - qi\)）として表示されます。
計算式の解説
2×2行列の特性方程式は \(\lambda^{2} - (a+d)\lambda + (ad-bc) = 0\) です。トレースを \(tr = a + d\)、行列式を \(det = ad - bc\) とおくと、二次方程式の解の公式から $$\lambda = \frac{tr \pm \sqrt{tr^{2} - 4\cdot det}}{2}$$ が得られます。ルートの中身である \(tr^{2} - 4\cdot det\) が判別式です。これが負の場合、各固有値の実部は \(tr/2\)、虚部は \(\sqrt{4\cdot det - tr^{2}} / 2\) となります。
計算例
回転行列 [[0, −1], [1, 0]] を考えてみましょう。\(a=0\)、\(b=-1\)、\(c=1\)、\(d=0\) なので、\(tr = 0\)、\(det = (0)(0) - (-1)(1) = 1\) となります。判別式は $$0^{2} - 4\cdot 1 = -4$$ で、負の値です。実部は \(0/2 = 0\)、虚部は \(\sqrt{4} / 2 = 1\) です。したがって固有値は \(0 + 1i\) と \(0 - 1i\)、つまり \(\pm i\) になります。
よくある質問
判別式が負になると何を意味しますか？ その行列には実数の固有値が存在せず、代わりに複素共役のペアを持つことを意味します。回転に似た行列でよく見られる現象です。
2つの固有値が等しくなることはありますか？ あります。判別式がちょうどゼロのとき、行列は \(tr/2\) に等しい重複固有値（縮退した固有値）を1つだけ持ちます。
固有値はトレースや行列式とどう関係していますか？ 2つの固有値の和はトレースに等しく、その積は行列式に等しくなります。
