什么是 2×2 矩阵特征值计算器？
这款工具可以求出任意 2×2 矩阵 \([[a, b], [c, d]]\) 的特征值。所谓特征值，是指使方程 \(Av = \lambda v\) 存在非零解 \(v\) 的标量 \(\lambda\)。对于 2×2 矩阵来说，特征值总共有两个（含重根计数），它们既可能是实数，也可能是一对共轭复数。计算器在给出两个特征值的同时，还会列出矩阵的迹、行列式和判别式，让你清楚地看到每一步是如何得出的。
使用方法
依次输入矩阵的四个元素：第一行填入 \(a\) 和 \(b\)，第二行填入 \(c\) 和 \(d\)，然后点击「计算」。如果判别式为零或为正，你会得到两个实数特征值；如果判别式为负，则会得到一对共轭复数，形式为 \(p + qi\) 和 \(p - qi\)。
公式详解
2×2 矩阵的特征多项式为 $$\lambda^{2} - (a+d)\lambda + (ad-bc) = 0.$$ 我们把迹记作 \(\text{tr} = a + d\)，把行列式记作 \(\det = ad - bc\)，则由一元二次方程求根公式可得 $$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^{2} - 4\cdot\det}}{2}.$$ 根号下的表达式 \(\text{tr}^{2} - 4\cdot\det\) 就是判别式。当它为负时，每个特征值的实部为 \(\text{tr}/2\)，虚部为 \(\sqrt{4\cdot\det - \text{tr}^{2}} / 2\)。
示例演算
以旋转矩阵 \([[0, -1], [1, 0]]\) 为例。这里 \(a=0\)、\(b=-1\)、\(c=1\)、\(d=0\)，因此 \(\text{tr} = 0\)，$$\det = (0)(0) - (-1)(1) = 1.$$ 判别式为 $$0^{2} - 4\cdot 1 = -4,$$ 结果为负。实部为 \(0/2 = 0\)，虚部为 \(\sqrt{4} / 2 = 1\)。所以特征值为 \(0 + 1i\) 和 \(0 - 1i\)，即 \(\pm i\)。
常见问题
判别式为负意味着什么？说明该矩阵没有实数特征值，取而代之的是一对共轭复数特征值，这在类似旋转的矩阵中很常见。
两个特征值可以相等吗？可以。当判别式恰好为零时，矩阵只有一个重复（退化）的特征值，其值等于 \(\text{tr}/2\)。
特征值与迹、行列式有什么关系？两个特征值之和等于迹，它们的乘积等于行列式。
