2x2 고윳값 계산기란?
이 계산기는 임의의 2×2 행렬 [[a, b], [c, d]]의 고윳값을 구해 줍니다. 고윳값이란 \(Av = \lambda v\)를 만족하는 0이 아닌 벡터 v가 존재하도록 하는 스칼라 \(\lambda\)를 말합니다. 2×2 행렬에는 (중복도를 포함해) 항상 두 개의 고윳값이 존재하며, 이 값은 실수일 수도 있고 복소 켤레쌍일 수도 있습니다. 본 계산기는 두 고윳값과 함께 대각합(트레이스), 행렬식, 판별식까지 함께 보여 주므로 답이 어떻게 도출되는지 한눈에 확인할 수 있습니다.
사용 방법
네 개의 행렬 성분을 입력합니다. 첫째 행에 a와 b를, 둘째 행에 c와 d를 넣으면 됩니다. 그런 다음 계산 버튼을 누르세요. 판별식이 0이거나 양수이면 두 개의 실수 고윳값이 나오고, 음수이면 \(p + qi\)와 \(p - qi\) 형태의 복소 켤레쌍이 표시됩니다.
공식 풀이
2×2 행렬의 특성다항식은 \(\lambda^{2} - (a+d)\lambda + (ad-bc) = 0\) 입니다. 대각합을 \(\text{tr} = a + d\), 행렬식을 \(\det = ad - bc\) 로 두면, 근의 공식에 따라 다음과 같이 됩니다.
$$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^{2} - 4\cdot\det}}{2}$$제곱근 안의 값 \(\text{tr}^{2} - 4\cdot\det\) 가 바로 판별식입니다. 이 값이 음수일 때 각 고윳값의 실수부는 \(\text{tr}/2\), 허수부는 \(\sqrt{4\cdot\det - \text{tr}^{2}} / 2\) 가 됩니다.
예제 풀이
회전 행렬 [[0, −1], [1, 0]]을 살펴봅시다. 여기서 \(a=0\), \(b=-1\), \(c=1\), \(d=0\) 이므로 \(\text{tr} = 0\), \(\det = (0)(0) - (-1)(1) = 1\) 입니다. 판별식은 \(0^{2} - 4\cdot 1 = -4\) 로 음수입니다. 따라서 실수부는 \(0/2 = 0\), 허수부는 \(\sqrt{4} / 2 = 1\) 이 됩니다. 그러므로 고윳값은 \(0 + 1i\) 와 \(0 - 1i\), 즉 \(\pm i\) 입니다.
자주 묻는 질문
판별식이 음수이면 무슨 뜻인가요? 해당 행렬에는 실수 고윳값이 없고, 대신 복소 켤레쌍을 갖는다는 의미입니다. 회전과 유사한 행렬에서 흔히 나타나는 경우입니다.
두 고윳값이 같을 수도 있나요? 네, 가능합니다. 판별식이 정확히 0일 때 행렬은 \(\text{tr}/2\)와 같은 하나의 중복(축퇴) 고윳값을 갖습니다.
고윳값은 대각합·행렬식과 어떤 관계가 있나요? 두 고윳값의 합은 대각합과 같고, 두 고윳값의 곱은 행렬식과 같습니다.
