2x2 आइगेनवैल्यू कैलकुलेटर क्या है?
यह टूल किसी भी 2×2 मैट्रिक्स [[a, b], [c, d]] के आइगेनवैल्यू (eigenvalues) निकालता है। आइगेनवैल्यू वे अदिश (scalar) मान \(\lambda\) होते हैं जिनके लिए समीकरण \(Av = \lambda v\) का कोई शून्येतर (nonzero) हल \(v\) मौजूद होता है। हर 2×2 मैट्रिक्स के हमेशा दो आइगेनवैल्यू होते हैं (बहुलता गिनते हुए), और ये या तो वास्तविक हो सकते हैं या सम्मिश्र-संयुग्मी (complex-conjugate) जोड़ा। यह कैलकुलेटर दोनों आइगेनवैल्यू के साथ-साथ ट्रेस, डिटर्मिनेंट और डिस्क्रिमिनेंट भी दिखाता है, ताकि आप ठीक-ठीक देख सकें कि उत्तर कैसे आया।
इसका उपयोग कैसे करें
मैट्रिक्स की चारों प्रविष्टियाँ भरें: पहली पंक्ति में a और b, दूसरी पंक्ति में c और d। फिर "गणना करें" दबाएँ। यदि डिस्क्रिमिनेंट शून्य या धनात्मक है तो आपको दो वास्तविक आइगेनवैल्यू मिलेंगे; और यदि यह ऋणात्मक है तो एक संयुग्मी जोड़ा मिलेगा, जिसे \(p + qi\) और \(p - qi\) के रूप में दिखाया जाता है।
सूत्र की व्याख्या
किसी 2×2 मैट्रिक्स का अभिलक्षणिक बहुपद (characteristic polynomial) होता है $$\lambda^{2} - (a+d)\lambda + (ad-bc) = 0$$ यदि ट्रेस \(\text{tr} = a + d\) और डिटर्मिनेंट \(\det = ad - bc\) मान लें, तो द्विघात सूत्र से $$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^{2} - 4\cdot\det}}{2}$$ मिलता है। मूल के नीचे का मान, यानी \(\text{tr}^{2} - 4\cdot\det\), ही डिस्क्रिमिनेंट कहलाता है। जब यह ऋणात्मक होता है, तब प्रत्येक आइगेनवैल्यू का वास्तविक भाग \(\text{tr}/2\) होता है और काल्पनिक भाग \(\sqrt{4\cdot\det - \text{tr}^{2}} / 2\) होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
घूर्णन (rotation) मैट्रिक्स [[0, −1], [1, 0]] लेते हैं। यहाँ \(a=0\), \(b=-1\), \(c=1\), \(d=0\) है, इसलिए \(\text{tr} = 0\) और \(\det = (0)(0) - (-1)(1) = 1\)। डिस्क्रिमिनेंट होगा \(0^{2} - 4\cdot 1 = -4\), जो ऋणात्मक है। वास्तविक भाग \(= 0/2 = 0\) और काल्पनिक भाग \(= \sqrt{4} / 2 = 1\)। अतः आइगेनवैल्यू हैं \(0 + 1i\) और \(0 - 1i\), यानी \(\pm i\)।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
ऋणात्मक डिस्क्रिमिनेंट का क्या अर्थ है? इसका मतलब है कि मैट्रिक्स का कोई वास्तविक आइगेनवैल्यू नहीं है; इसके बजाय एक सम्मिश्र-संयुग्मी जोड़ा होता है, जो घूर्णन जैसी मैट्रिक्स में आम है।
क्या दोनों आइगेनवैल्यू बराबर हो सकते हैं? हाँ। जब डिस्क्रिमिनेंट ठीक शून्य हो, तब मैट्रिक्स का एक ही दोहराया हुआ (अपह्रासित/degenerate) आइगेनवैल्यू होता है, जो \(\text{tr}/2\) के बराबर होता है।
आइगेनवैल्यू का ट्रेस और डिटर्मिनेंट से क्या संबंध है? आइगेनवैल्यू का योग ट्रेस के बराबर होता है, और उनका गुणनफल डिटर्मिनेंट के बराबर होता है।
