Máy Tính Giá Trị Riêng Ma Trận 2x2

Nhập phép tính

a (hàng 1, cột 1)

b (hàng 1, cột 2)

c (hàng 2, cột 1)

d (hàng 2, cột 2)

Kết quả

Giá trị riêng λ₁

3

Giá trị riêng λ₂

1

Phần ảo (±)	0
Vết (a + d)	4
Định thức (ad − bc)	3
Biệt thức (tr² − 4·det)	4

Máy Tính Giá Trị Riêng Ma Trận 2x2 là gì?

Công cụ này giúp bạn tìm giá trị riêng (eigenvalue) của bất kỳ ma trận 2×2 nào có dạng [[a, b], [c, d]]. Giá trị riêng là các số vô hướng \(\lambda\) sao cho phương trình \(Av = \lambda v\) có nghiệm \(v\) khác không. Với ma trận 2×2, luôn tồn tại đúng hai giá trị riêng (tính cả bội), và chúng có thể là số thực hoặc một cặp số phức liên hợp. Máy tính sẽ trả về cả hai giá trị riêng cùng với vết (trace), định thức (determinant) và biệt thức (discriminant), giúp bạn thấy rõ kết quả được tính ra như thế nào.

Cách sử dụng

Nhập bốn phần tử của ma trận: a và b nằm ở hàng thứ nhất, c và d nằm ở hàng thứ hai. Sau đó nhấn nút tính. Nếu biệt thức bằng 0 hoặc dương, bạn sẽ nhận được hai giá trị riêng thực; nếu biệt thức âm, kết quả là một cặp nghiệm phức liên hợp được hiển thị dưới dạng \(p + qi\) và \(p - qi\).

Giải thích công thức

Đa thức đặc trưng của ma trận 2×2 là \(\lambda^{2} - (a+d)\lambda + (ad-bc) = 0\). Nếu đặt vết \(\text{tr} = a + d\) và định thức \(\det = ad - bc\), thì áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai ta có

$$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^{2} - 4\cdot\det}}{2}$$

Đại lượng nằm dưới dấu căn, \(\text{tr}^{2} - 4\cdot\det\), chính là biệt thức. Khi biệt thức âm, phần thực của mỗi giá trị riêng là \(\text{tr}/2\) và phần ảo là \(\sqrt{4\cdot\det - \text{tr}^{2}} / 2\).

Quảng cáo

Dấu của biệt thức quyết định giá trị riêng là số thực hay số phức.

Các giá trị riêng được tính từ vết và định thức của ma trận 2x2.

Ví dụ minh họa

Xét ma trận quay [[0, −1], [1, 0]]. Ở đây \(a=0\), \(b=-1\), \(c=1\), \(d=0\), nên \(\text{tr} = 0\) và \(\det = (0)(0) - (-1)(1) = 1\). Biệt thức là \(0^{2} - 4\cdot 1 = -4\), một giá trị âm. Phần thực bằng \(0/2 = 0\) và phần ảo bằng \(\sqrt{4} / 2 = 1\). Vậy các giá trị riêng là \(0 + 1i\) và \(0 - 1i\), tức là \(\pm i\).

Câu hỏi thường gặp

Biệt thức âm có ý nghĩa gì? Ma trận không có giá trị riêng thực; thay vào đó nó có một cặp nghiệm phức liên hợp, điều thường gặp ở các ma trận dạng phép quay.

Hai giá trị riêng có thể bằng nhau không? Có. Khi biệt thức bằng đúng 0, ma trận có một giá trị riêng kép (suy biến) duy nhất bằng \(\text{tr}/2\).

Giá trị riêng liên hệ với vết và định thức như thế nào? Tổng của các giá trị riêng bằng vết, còn tích của chúng bằng định thức.