¿Qué es la Calculadora de Valores Propios 2x2?
Esta herramienta calcula los valores propios (también llamados autovalores) de cualquier matriz 2×2 [[a, b], [c, d]]. Los valores propios son los escalares \(\lambda\) para los que la ecuación \(Av = \lambda v\) tiene una solución no nula \(v\). Toda matriz 2×2 tiene siempre dos valores propios (contando la multiplicidad), que pueden ser reales o formar un par de complejos conjugados. La calculadora te muestra ambos autovalores junto con la traza, el determinante y el discriminante, para que veas con claridad cómo se ha llegado al resultado.
Cómo usarla
Introduce los cuatro elementos de la matriz: a y b en la primera fila, c y d en la segunda fila. Pulsa calcular. Si el discriminante es cero o positivo, obtendrás dos valores propios reales; si es negativo, obtendrás un par conjugado mostrado como \(p + qi\) y \(p - qi\).
La fórmula explicada
El polinomio característico de una matriz 2×2 es \(\lambda^{2} - (a+d)\lambda + (ad-bc) = 0\). Si llamamos traza a \(\text{tr} = a + d\) y determinante a \(\det = ad - bc\), la fórmula cuadrática nos da $$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^{2} - 4\cdot\det}}{2}$$ La cantidad que está bajo la raíz, \(\text{tr}^{2} - 4\cdot\det\), es el discriminante. Cuando es negativo, la parte real de cada valor propio es \(\text{tr}/2\) y la parte imaginaria es \(\sqrt{4\cdot\det - \text{tr}^{2}} / 2\).
Ejemplo resuelto
Tomemos la matriz de rotación [[0, −1], [1, 0]]. Aquí \(a=0\), \(b=-1\), \(c=1\), \(d=0\), de modo que \(\text{tr} = 0\) y \(\det = (0)(0) - (-1)(1) = 1\). El discriminante es \(0^{2} - 4\cdot 1 = -4\), que es negativo. La parte real es \(0/2 = 0\) y la parte imaginaria es \(\sqrt{4} / 2 = 1\). Por tanto, los valores propios son \(0 + 1i\) y \(0 - 1i\), es decir, \(\pm i\).
Preguntas frecuentes
¿Qué significa un discriminante negativo? Que la matriz no tiene valores propios reales; en su lugar tiene un par de complejos conjugados, algo habitual en las matrices de tipo rotación.
¿Pueden ser iguales los dos valores propios? Sí. Cuando el discriminante es exactamente cero, la matriz tiene un único valor propio repetido (degenerado) igual a \(\text{tr}/2\).
¿Cómo se relacionan los valores propios con la traza y el determinante? La suma de los valores propios es igual a la traza, y su producto es igual al determinante.
