Qué hace esta calculadora
La calculadora de autovalores de matrices 3×3 obtiene los tres autovalores de cualquier matriz real de orden 3. Los autovalores son esos escalares especiales \(\lambda\) para los que existe un vector no nulo \(v\) que cumple \(Av = \lambda v\). Nos indican cómo una transformación lineal estira el espacio a lo largo de sus direcciones características y aparecen por todas partes: en física, ingeniería, estadística (PCA) y análisis de estabilidad.
Cómo usarla
Introduce las nueve entradas de tu matriz A en sus casillas correspondientes (de a₁₁ a a₃₃) y pulsa calcular. La herramienta construye el polinomio característico \(\det(A - \lambda I) = 0\), resuelve la ecuación cúbica resultante y devuelve los autovalores ordenados de mayor a menor, junto con la traza y el determinante como comprobación rápida.
La fórmula explicada
En una matriz 3×3, la ecuación característica se desarrolla en una cúbica:
$$\det(A - \lambda I) = -\lambda^3 + \operatorname{tr}(A)\,\lambda^2 - m\,\lambda + \det(A) = 0$$donde \(\operatorname{tr}(A)\) es la suma de los elementos de la diagonal y \(m\) es la suma de los tres menores principales de orden 2×2. Al multiplicar por \(-1\) obtenemos una cúbica mónica que se resuelve de forma exacta con el método de Cardano o el método trigonométrico. Dos identidades muy útiles permiten verificar el resultado: la suma de los autovalores es igual a la traza y su producto es igual al determinante.
$$\sum \lambda_i = \operatorname{tr}(A), \qquad \prod \lambda_i = \det(A)$$
Ejemplo resuelto
Tomemos la matriz simétrica con filas [2,0,0], [0,3,4], [0,4,9]. La traza vale 14 y el determinante es \(2\cdot(27-16)=22\). El bloque de la esquina inferior derecha \(\begin{bmatrix}3&4\\4&9\end{bmatrix}\) tiene autovalores 11 y 1, y el 2 aislado aporta el tercero. Así que los autovalores son 11, 2 y 1: exactamente lo que devuelve la calculadora.
Interpretación de sus valores propios
Los valores propios describen cómo la matriz estira, comprime, refleja o rota el espacio a lo largo de sus direcciones características. Sus signos y estructura tienen un significado directo.
- Todos los valores propios positivos (>0): la matriz es definida positiva (para \(A\) simétrica). Estira cada dirección hacia afuera; las formas cuadráticas \(x^\top A x\) siempre son positivas. Esta es la condición para un mínimo local estricto en optimización y para una matriz de covarianza válida.
- Todos los valores propios negativos (<0): definida negativa — cada dirección se comprime/refleja. En sistemas dinámicos esto significa un equilibrio asintóticamente estable.
- Signos mixtos: la matriz es indefinida — un punto de silla. Algunas direcciones se expanden, otras se contraen.
- Un valor propio igual a 0: la matriz es singular (no invertible) y \(\det(A)=0\). Colapsa al menos una dirección al origen; el espacio nulo es el eigenespacio correspondiente.
Raíces repetidas y complejas
- Valores propios repetidos (degenerados): compare la multiplicidad algebraica y geométrica. Si un valor propio repetido tiene suficientes vectores propios independientes (multiplicidad geométrica = multiplicidad algebraica) la matriz es diagonalizable; si tiene muy pocos es defectiva y necesita una forma de Jordan.
- Par de conjugados complejos \(a\pm bi\): una matriz real de 3×3 siempre tiene al menos un valor propio real, por lo que las raíces complejas aparecen como un único par conjugado más un valor real. El par indica una rotación con escalado en un plano invariante de 2D; el módulo \(\sqrt{a^2+b^2}\) establece la tasa de crecimiento/decaimiento y el argumento establece el ángulo de rotación.
Significado en el dominio
En análisis de estabilidad, los valores propios del Jacobiano del sistema determinan el comportamiento del equilibrio: partes reales negativas → estable, cualquier parte real positiva → inestable, puramente imaginaria → oscilación. En Análisis de Componentes Principales (PCA), los valores propios de la matriz de covarianza igualan la varianza capturada a lo largo de cada dirección principal (vector propio); el valor propio más grande marca el eje de mayor dispersión, y la razón de cada valor propio a su suma es la fracción de varianza total explicada.
Términos clave
- Valor propio (\(\lambda\))
- Un escalar tal que \(A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\) para algún vector no nulo \(\mathbf{v}\); es el factor por el cual la matriz escala esa dirección.
- Vector propio (\(\mathbf{v}\))
- Un vector no nulo cuya dirección permanece inalterada (solo se escala) cuando se multiplica por la matriz; abarca el eigenespacio de su valor propio.
- Polinomio característico
- El polinomio \(\det(A-\lambda I)\); para una matriz de 3×3 es el cúbica \(\lambda^3-\operatorname{tr}(A)\lambda^2+m\lambda-\det(A)\), cuyas raíces son los valores propios.
- Traza, \(\operatorname{tr}(A)\)
- La suma de las entradas diagonales \(a_{11}+a_{22}+a_{33}\); es igual a la suma de los valores propios.
- Determinante, \(\det(A)\)
- Un escalar que mide el escalado de volumen de la transformación; es igual al producto de los valores propios. Un determinante cero significa una matriz singular.
- Menor principal de 2×2 (\(m\))
- La suma de los tres determinantes de 2×2 que quedan después de eliminar una fila y columna coincidentes; es el coeficiente de \(\lambda\) en el cúbica característico e igual a la suma de productos de pares de valores propios.
- Multiplicidad algebraica
- El número de veces que un valor propio aparece como raíz del polinomio característico.
- Multiplicidad geométrica
- El número de vectores propios linealmente independientes para un valor propio (la dimensión de su eigenespacio). Nunca excede la multiplicidad algebraica; la igualdad para cada valor propio significa que la matriz es diagonalizable.
- Valores propios de conjugados complejos
- Un par \(a+bi\) y \(a-bi\) que surge para matrices reales; señalan un componente rotacional en un plano invariante.
- Matriz identidad (\(I\))
- La matriz cuadrada con 1s en la diagonal y 0s en el resto; \(\lambda I\) se sustrae de \(A\) para formar \(A-\lambda I\).
Preguntas frecuentes
¿Admite autovalores complejos? Las matrices no simétricas pueden tener autovalores complejos conjugados. Esta herramienta da de forma exacta la raíz real y las partes reales de cualquier par complejo. Las matrices simétricas siempre tienen tres autovalores reales.
¿Para qué sirve la traza? Equivale a la suma de todos los autovalores, una forma rápida de confirmar el resultado.
¿Contempla autovalores repetidos? Sí. Una raíz repetida simplemente aparece más de una vez en la lista.
