ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تتيح لك حاسبة القيم الذاتية لمصفوفة 3×3 إيجاد القيم الذاتية الثلاث لأي مصفوفة حقيقية من الرتبة 3×3. القيم الذاتية هي تلك القيم العددية الخاصة \(\lambda\) التي يوجد لأجلها متجه غير صفري \(v\) يحقق المعادلة \(Av = \lambda v\). وهي تكشف الكيفية التي يمدّ بها التحويل الخطي الفضاء على امتداد اتجاهاته المميزة، وتظهر في مجالات واسعة مثل الفيزياء والهندسة والإحصاء (تحليل المكوّنات الرئيسية PCA) وتحليل الاستقرار.
طريقة الاستخدام
أدخِل العناصر التسعة للمصفوفة A في مواضعها داخل الشبكة (من a₁₁ إلى a₃₃)، ثم اضغط على زر الحساب. تقوم الحاسبة ببناء كثيرة الحدود المميزة \(\det(A - \lambda I) = 0\) وحلّ المعادلة التكعيبية الناتجة، فتعيد القيم الذاتية مرتّبة من الأكبر إلى الأصغر، إضافة إلى الأثر والمحدّد كوسيلة مدمجة للتحقق من صحة النتيجة.
شرح المعادلة
بالنسبة لمصفوفة 3×3، تتوسّع المعادلة المميزة إلى معادلة تكعيبية على الصورة:
$$-\lambda^3 + \operatorname{tr}(A)\,\lambda^2 - m\,\lambda + \det(A) = 0$$حيث يمثّل \(\operatorname{tr}(A)\) مجموع عناصر القطر الرئيسي، وتمثّل \(m\) مجموع المحدّدات الثانوية الرئيسية الثلاثة من الرتبة 2×2. وبضرب المعادلة في \(-1\) نحصل على معادلة تكعيبية أحادية المعامل تُحلّ حلًّا دقيقًا باستخدام طريقة كاردانو أو الطريقة المثلثية. وهناك متطابقتان مفيدتان للتأكد من الإجابة: مجموع القيم الذاتية يساوي الأثر، وحاصل ضربها يساوي المحدّد.
$$\sum \lambda_i = \operatorname{tr}(A), \qquad \prod \lambda_i = \det(A)$$
مثال محلول
لنأخذ المصفوفة المتماثلة التي صفوفها [2,0,0] و [0,3,4] و [0,4,9]. الأثر يساوي 14 والمحدّد يساوي \(2\cdot(27-16)=22\). أما الكتلة الموجودة في الزاوية السفلية اليمنى \([[3,4],[4,9]]\) فقيمتاها الذاتيتان هما 11 و1، ويمنح العنصر المنفصل 2 القيمة الثالثة. وعليه تكون القيم الذاتية هي 11 و2 و1 — وهي تمامًا ما تعيده الحاسبة.
تفسير القيم الذاتية الخاصة بك
تصف القيم الذاتية كيف تقوم المصفوفة بتمديد أو ضغط أو قلب أو تدوير الفضاء على طول اتجاهاتها المميزة. تحمل علاماتها وهيكلها معنى مباشر.
- جميع القيم الذاتية موجبة (>0): المصفوفة موجبة التعريف (بالنسبة للمصفوفة المتماثلة \(A\)). تقوم بتمديد كل اتجاه للخارج؛ الأشكال التربيعية \(x^\top A x\) تكون دائماً موجبة. هذا هو الشرط للحد الأدنى المحلي الصارم في التحسين وللمصفوفة التغاير الصحيحة.
- جميع القيم الذاتية سالبة (<0): سالبة التعريف — كل اتجاه يتم ضغطه/قلبه. في الأنظمة الديناميكية هذا يعني توازناً مستقراً بشكل متقارب.
- علامات مختلطة: المصفوفة غير محددة — نقطة سرج. تتمدد بعض الاتجاهات بينما تنكمش اتجاهات أخرى.
- قيمة ذاتية تساوي 0: المصفوفة منفردة (غير قابلة للعكس) و \(\det(A)=0\). تنهار على الأقل اتجاه واحد إلى الأصل؛ فضاء الفراغ هو فضاء القيم الذاتية المقابلة.
الجذور المتكررة والمعقدة
- القيم الذاتية المتكررة (المتحللة): قارن بين التعددية الجبرية والهندسية. إذا كانت قيمة ذاتية متكررة لا تزال تحتوي على عدد كافٍ من المتجهات الذاتية المستقلة خطياً (الهندسية = التعددية الجبرية) فإن المصفوفة قابلة للقطرنة؛ إذا كانت تحتوي على عدد قليل جداً فإنها معيبة وتحتاج إلى صيغة جوردان.
- زوج مترافق معقد \(a\pm bi\): مصفوفة حقيقية 3×3 لها دائماً قيمة ذاتية حقيقية واحدة على الأقل، لذا تظهر الجذور المعقدة كزوج مترافق واحد بالإضافة إلى قيمة حقيقية واحدة. يشير الزوج إلى دوران مع تحجيم في مستوى غير متغير ثنائي الأبعاد؛ المعامل \(\sqrt{a^2+b^2}\) يحدد معدل النمو/التناقص وتحديد الزاوية يحدد زاوية الدوران.
معنى المجال
في تحليل الاستقرار، تحدد القيم الذاتية لمصفوفة جاكوبيان النظام سلوك التوازن: أجزاء حقيقية سالبة → مستقر، أي جزء حقيقي موجب → غير مستقر، تماماً تخيلي → تذبذب. في تحليل المكونات الرئيسية (PCA)، تساوي القيم الذاتية لمصفوفة التغاير التباين المحتوي على كل اتجاه رئيسي (متجه ذاتي)؛ أكبر قيمة ذاتية تحدد محور أكبر انتشار، ونسبة كل قيمة ذاتية إلى مجموعها هي كسر التباين الكلي الموضح.
المصطلحات الرئيسية
- القيمة الذاتية (\(\lambda\))
- عدد قياسي بحيث \(A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\) لمتجه غير صفري \(\mathbf{v}\)؛ إنه العامل الذي تقيس به المصفوفة هذا الاتجاه.
- المتجه الذاتي (\(\mathbf{v}\))
- متجه غير صفري لا يتغير اتجاهه (يتم قياسه فقط) عند الضرب بالمصفوفة؛ يمتد إلى فضاء القيم الذاتية الخاص به.
- كثيرة الحدود المميزة
- كثيرة الحدود \(\det(A-\lambda I)\)؛ بالنسبة لمصفوفة 3×3 فهي الحدثة الثالثة \(\lambda^3-\operatorname{tr}(A)\lambda^2+m\lambda-\det(A)\)، جذورها هي القيم الذاتية.
- الأثر، \(\operatorname{tr}(A)\)
- مجموع إدخالات القطر \(a_{11}+a_{22}+a_{33}\)؛ تساوي مجموع القيم الذاتية.
- المحدد، \(\det(A)\)
- عدد قياسي يقيس تحجيم الحجم للتحويل؛ يساوي حاصل ضرب القيم الذاتية. المحدد الصفري يعني مصفوفة منفردة.
- القاصر الرئيسي 2×2 (\(m\))
- مجموع محددات 2×2 الثلاثة المتبقية بعد حذف صف وعمود متطابق؛ إنه معامل \(\lambda\) في الحدثة المميزة ويساوي مجموع المنتجات الثنائية للقيم الذاتية.
- التعددية الجبرية
- عدد المرات التي تظهر فيها قيمة ذاتية كجذر لكثيرة الحدود المميزة.
- التعددية الهندسية
- عدد المتجهات الذاتية المستقلة خطياً لقيمة ذاتية (بعد فضاء القيم الذاتية الخاص بها). لا يتجاوز أبداً التعددية الجبرية؛ المساواة لكل قيمة ذاتية تعني أن المصفوفة قابلة للقطرنة.
- القيم الذاتية المترافقة المعقدة
- زوج \(a+bi\) و \(a-bi\) الناشئ عن مصفوفات حقيقية؛ تشير إلى مكون دوراني في مستوى غير متغير.
- مصفوفة الوحدة (\(I\))
- المصفوفة المربعة بأعداد 1 على القطر و 0 في أماكن أخرى؛ يتم طرح \(\lambda I\) من \(A\) لتشكيل \(A-\lambda I\).
الأسئلة الشائعة
هل تتعامل مع القيم الذاتية المركّبة؟ قد يكون للمصفوفات غير المتماثلة قيم ذاتية مركّبة مترافقة. تعرض هذه الأداة الجذر الحقيقي بدقة، إضافةً إلى الأجزاء الحقيقية لأي زوج مركّب. أما المصفوفات المتماثلة فلها دائمًا ثلاث قيم ذاتية حقيقية.
فيمَ يُستخدم الأثر؟ يساوي الأثر مجموع جميع القيم الذاتية، وهو وسيلة سريعة للتأكد من صحة النتيجة.
هل تدعم القيم الذاتية المتكرّرة؟ نعم — يظهر الجذر المتكرّر ببساطة أكثر من مرة في القائمة.
