このツールでできること
「3×3行列の固有値計算ツール」は、任意の実3×3行列について3つの固有値を求めます。固有値とは、ゼロでないベクトル v に対して \(Av = \lambda v\) が成り立つような特別なスカラー \(\lambda\) のことです。固有値は、線形変換が空間を特定の方向にどれだけ伸縮させるかを表し、物理学・工学・統計学（主成分分析＝PCA）・安定性解析など、幅広い分野で登場します。
使い方
行列 A の9つの成分（a₁₁ から a₃₃ まで）をグリッドの対応する位置に入力し、計算を実行してください。ツールは特性方程式 \(\det(A - \lambda I) = 0\) を構築して3次方程式を解き、固有値を大きい順に並べて表示します。あわせて、検算用にトレース（対角成分の和）と行列式も出力します。
計算式の解説
3×3行列の場合、特性方程式は次の3次式に展開されます：
$$\det(A - \lambda I) = -\lambda^3 + \operatorname{tr}(A)\,\lambda^2 - m\,\lambda + \det(A) = 0$$ここで \(\operatorname{tr}(A)\) は対角成分の和、\(m\) は3つの主小行列式（2×2の主小行列式）の和です。両辺に −1 を掛けるとモニック（最高次の係数が1）の3次方程式になり、これをカルダノの公式または三角関数を用いた解法で厳密に解きます。答えの検算には次の2つの便利な関係式が使えます。固有値の和はトレースに等しく、固有値の積は行列式に等しくなります。
$$\sum \lambda_i = \operatorname{tr}(A), \qquad \prod \lambda_i = \det(A)$$
具体例
各行が [2,0,0]、[0,3,4]、[0,4,9] からなる対称行列を考えます。トレースは14、行列式は \(2\cdot(27-16)=22\) です。右下のブロック [[3,4],[4,9]] の固有値は 11 と 1 で、独立した成分 2 が3つ目の固有値になります。したがって固有値は 11・2・1 となり、これはまさにツールが返す結果と一致します。
固有値の解釈
固有値は、行列が特性方向に沿った空間をどのように伸縮・反転・回転させるかを示します。符号と構造は直接的な意味を持ちます。
- すべての固有値が正(>0): 行列は正定値です（対称な \(A\) に対して）。すべての方向を外側に伸ばします。二次形式 \(x^\top A x\) は常に正です。これは最適化における厳密な局所最小値の条件であり、また有効な共分散行列の条件です。
- すべての固有値が負(<0): 負定値です。すべての方向が圧縮・反転されます。動力学系では、これは漸近安定な平衡を意味します。
- 符号が混在: 行列は不定値です。サドルポイントです。いくつかの方向は拡大し、他の方向は縮小します。
- 固有値が0に等しい: 行列は特異（非可逆）であり \(\det(A)=0\) です。少なくとも1つの方向を原点に潰します。零空間は対応する固有空間です。
重複根と複素根
- 重複（縮退）固有値: 代数的重複度と幾何学的重複度を比較します。重複固有値が十分な独立した固有ベクトルを持つ場合（幾何学的重複度=代数的重複度）、行列は対角化可能です。固有ベクトルが不足している場合、行列は欠陥的であり、ジョルダン標準形が必要です。
- 複素共役ペア \(a\pm bi\): 実3×3行列は常に少なくとも1つの実固有値を持つため、複素根は1つの複素共役ペアと1つの実値として現れます。このペアは2次元不変平面内の回転とスケーリングを示します。係数 \(\sqrt{a^2+b^2}\) は増加・減衰率を設定し、幅角は回転角を設定します。
領域における意味
安定性解析では、系のヤコビアンの固有値が平衡挙動を決定します。負の実部→安定、正の実部を持つ→不安定、純虚数→振動。主成分分析(PCA)では、共分散行列の固有値は各主方向（固有ベクトル）に沿ってキャプチャされる分散に等しくなります。最大固有値は最大スプレッドの軸を示し、各固有値とその合計の比は説明される全分散の割合です。
重要な用語
- 固有値 (\(\lambda\))
- 0でないベクトル \(\mathbf{v}\) に対して \(A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\) を満たすスカラー。その方向を行列がスケーリングする倍率です。
- 固有ベクトル (\(\mathbf{v}\))
- 行列を掛けた時に方向が変わらず（スケーリングのみされる）0でないベクトル。その固有値の固有空間をスパンします。
- 特性多項式
- 多項式 \(\det(A-\lambda I)\)。3×3行列の場合、これは立方 \(\lambda^3-\operatorname{tr}(A)\lambda^2+m\lambda-\det(A)\) であり、その根が固有値です。
- トレース、\(\operatorname{tr}(A)\)
- 対角成分の合計 \(a_{11}+a_{22}+a_{33}\)。固有値の合計に等しくなります。
- 行列式、\(\det(A)\)
- 変換の体積スケーリングを測定するスカラー。固有値の積に等しくなります。行列式が0は特異行列を意味します。
- 主2×2小行列式 (\(m\))
- 1つの行と列の対応するペアを削除した後に残される3つの2×2行列式の合計。特性立方における \(\lambda\) の係数であり、固有値の対積の合計に等しくなります。
- 代数的重複度
- 固有値が特性多項式の根として現れる回数。
- 幾何学的重複度
- 固有値に対する線形独立な固有ベクトルの個数（その固有空間の次元）。代数的重複度を超えることはありません。すべての固有値について等しい場合、行列は対角化可能です。
- 複素共役固有値
- 実行列から生じるペア \(a+bi\) と \(a-bi\)。不変平面における回転成分を示します。
- 単位行列 (\(I\))
- 対角線上に1、他に0を持つ正方行列。\(\lambda I\) は \(A-\lambda I\) を形成するために \(A\) から引かれます。
よくある質問
複素固有値にも対応していますか？ 非対称行列は、互いに共役な複素固有値を持つことがあります。本ツールは実数解は厳密に、複素共役ペアについてはその実部を表示します。対称行列の場合は、つねに3つの実固有値を持ちます。
トレースは何に使うのですか？ トレースはすべての固有値の和に等しいため、結果を素早く確認するのに役立ちます。
重複した固有値にも対応していますか？ はい。重根はその重複度の分だけ一覧に表示されます。
