Что делает этот калькулятор
Калькулятор собственных значений матрицы 3×3 находит все три собственных значения любой вещественной матрицы размера 3×3. Собственные значения — это особые скаляры \(\lambda\), для которых существует ненулевой вектор \(v\), удовлетворяющий равенству \(Av = \lambda v\). Они показывают, как линейное преобразование растягивает пространство вдоль своих характеристических направлений, и встречаются в физике, инженерных расчётах, статистике (метод главных компонент, PCA) и анализе устойчивости.
Как пользоваться
Введите девять элементов матрицы A в соответствующие ячейки сетки (от a₁₁ до a₃₃) и нажмите кнопку расчёта. Калькулятор строит характеристический многочлен \(\det(A - \lambda I) = 0\), решает получившееся кубическое уравнение и выдаёт собственные значения, отсортированные от большего к меньшему, а заодно показывает след и определитель — для быстрой проверки результата.
Разбор формулы
Для матрицы 3×3 характеристическое уравнение раскрывается в кубическое:
$$\det(A - \lambda I) = -\lambda^3 + \operatorname{tr}(A)\,\lambda^2 - m\,\lambda + \det(A) = 0$$где \(\operatorname{tr}(A)\) — сумма диагональных элементов, а \(m\) — сумма трёх главных миноров 2×2. Умножив на \(-1\), получаем приведённое кубическое уравнение, которое решается точно методом Кардано (или тригонометрическим способом). Проверить ответ помогают два полезных соотношения: сумма собственных значений равна следу матрицы, а их произведение — определителю.
$$\sum \lambda_i = \operatorname{tr}(A), \qquad \prod \lambda_i = \det(A)$$
Пример с решением
Возьмём симметричную матрицу со строками [2,0,0], [0,3,4], [0,4,9]. След равен \(14\), а определитель — \(2\cdot(27-16)=22\). Блок в правом нижнем углу \(\begin{bmatrix}3&4\\4&9\end{bmatrix}\) имеет собственные значения \(11\) и \(1\), а отдельный элемент \(2\) даёт третье. Итак, собственные значения равны \(11\), \(2\) и \(1\) — именно это и выдаёт калькулятор.
Частые вопросы
Работает ли он с комплексными собственными значениями? У несимметричных матриц могут быть комплексно-сопряжённые собственные значения. Этот инструмент точно вычисляет вещественный корень и действительные части любой комплексной пары. У симметричных матриц всегда три вещественных собственных значения.
Для чего нужен след? Он равен сумме всех собственных значений — это быстрый способ проверить правильность ответа.
Поддерживаются ли кратные собственные значения? Да — кратный корень просто появляется в списке несколько раз.
Интерпретация собственных значений
Собственные значения описывают, как матрица растягивает, сжимает, отражает или вращает пространство вдоль своих характеристических направлений. Их знаки и структура имеют прямой смысл.
- Все собственные значения положительны (>0): матрица является положительно определённой (для симметричной \(A\)). Она растягивает каждое направление наружу; квадратичные формы \(x^\top A x\) всегда положительны. Это условие для строгого локального минимума в оптимизации и для корректной матрицы ковариаций.
- Все собственные значения отрицательны (<0): отрицательно определённая — каждое направление сжимается или отражается. В динамических системах это означает асимптотически устойчивое равновесие.
- Смешанные знаки: матрица является неопределённой — седловая точка. Некоторые направления расширяются, другие сужаются.
- Собственное значение равно 0: матрица является сингулярной (необратимой) и \(\det(A)=0\). Она проектирует по крайней мере одно направление в начало координат; нулевое пространство является соответствующим собственным подпространством.
Повторённые и комплексные корни
- Повторённые (вырожденные) собственные значения: сравните алгебраическую и геометрическую кратность. Если повторённое собственное значение всё ещё имеет достаточно независимых собственных векторов (геометрическая = алгебраическая кратность), матрица является диагонализируемой; если их недостаточно, она является дефектной и требует нормальную форму Жордана.
- Пара комплексно-сопряжённых корней \(a\pm bi\): вещественная матрица 3×3 всегда имеет по крайней мере одно вещественное собственное значение, поэтому комплексные корни появляются как одна пара сопряжённых корней плюс одно вещественное значение. Пара указывает на вращение с масштабированием в двумерной инвариантной плоскости; модуль \(\sqrt{a^2+b^2}\) устанавливает скорость роста/затухания, а аргумент устанавливает угол вращения.
Смысл в предметной области
В анализе устойчивости собственные значения якобиана системы определяют поведение равновесия: отрицательные вещественные части → устойчиво, любая положительная вещественная часть → неустойчиво, чисто мнимые → колебания. В анализе главных компонент (PCA) собственные значения матрицы ковариаций равны дисперсии, захватываемой вдоль каждого главного направления (собственного вектора); наибольшее собственное значение отмечает ось наибольшего распространения, а отношение каждого собственного значения к их сумме — это доля общей объяснённой дисперсии.
Ключевые термины
- Собственное значение (\(\lambda\))
- Скаляр такой, что \(A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\) для некоторого ненулевого вектора \(\mathbf{v}\); это коэффициент, на который матрица масштабирует это направление.
- Собственный вектор (\(\mathbf{v}\))
- Ненулевой вектор, направление которого не изменяется (только масштабируется) при умножении на матрицу; он натягивает собственное подпространство своего собственного значения.
- Характеристический многочлен
- Многочлен \(\det(A-\lambda I)\); для матрицы 3×3 это кубический многочлен \(\lambda^3-\operatorname{tr}(A)\lambda^2+m\lambda-\det(A)\), корни которого являются собственными значениями.
- След, \(\operatorname{tr}(A)\)
- Сумма диагональных элементов \(a_{11}+a_{22}+a_{33}\); она равна сумме собственных значений.
- Определитель, \(\det(A)\)
- Скаляр, измеряющий масштабирование объёма преобразования; он равен произведению собственных значений. Нулевой определитель означает сингулярную матрицу.
- Главный минор 2×2 (\(m\))
- Сумма трёх определителей 2×2, оставшихся после удаления одной совпадающей строки и столбца; это коэффициент при \(\lambda\) в характеристическом кубическом многочлене и равен сумме попарных произведений собственных значений.
- Алгебраическая кратность
- Количество раз, когда собственное значение появляется как корень характеристического многочлена.
- Геометрическая кратность
- Количество линейно независимых собственных векторов для собственного значения (размерность его собственного подпространства). Она никогда не превышает алгебраическую кратность; равенство для каждого собственного значения означает, что матрица диагонализируема.
- Комплексно-сопряжённые собственные значения
- Пара \(a+bi\) и \(a-bi\), возникающая для вещественных матриц; они сигнализируют о вращательной компоненте в инвариантной плоскости.
- Единичная матрица (\(I\))
- Квадратная матрица с 1 на диагонали и 0 в остальных местах; \(\lambda I\) вычитается из \(A\) для образования \(A-\lambda I\).
