3×3 행렬 고윳값 계산기

계산 입력

a₁₁

a₁₂

a₁₃

a₂₁

a₂₂

a₂₃

a₃₁

a₃₂

a₃₃

공식

Show calculation steps (1)

1. Determinant (constant term r)

   

   r = det(A), the constant term of the characteristic polynomial.

결과

최대 고윳값 (λ₁)

11

고윳값 내림차순 정렬

λ₁	11
λ₂	2
λ₃	1
대각합 (λ의 합)	14
행렬식 (λ의 곱)	22

이 계산기의 기능

3×3 행렬 고윳값 계산기는 임의의 실수 3×3 행렬에 대해 세 개의 고윳값을 찾아줍니다. 고윳값이란 0이 아닌 벡터 v에 대해 \(Av = \lambda v\)를 만족하는 특별한 스칼라 \(\lambda\)를 말합니다. 고윳값은 선형변환이 특성 방향을 따라 공간을 어떻게 늘리는지를 보여주며, 물리학, 공학, 통계학(주성분분석, PCA), 안정성 해석 등 여러 분야에서 폭넓게 활용됩니다.

사용 방법

행렬 A의 아홉 개 성분(a₁₁부터 a₃₃까지)을 각 격자 위치에 입력한 뒤 계산 버튼을 누르세요. 계산기는 특성다항식 \(\det(A - \lambda I) = 0\)을 만들고, 여기서 나온 3차 방정식을 풀어 고윳값을 큰 값부터 작은 값 순으로 정렬해 보여줍니다. 또한 결과 검산용으로 대각합(trace)과 행렬식(determinant)도 함께 제공합니다.

공식 설명

3×3 행렬의 특성방정식은 다음과 같은 3차식으로 전개됩니다: $$\det(A - \lambda I) = -\lambda^3 + \operatorname{tr}(A)\,\lambda^2 - m\,\lambda + \det(A) = 0$$ 여기서 \(\operatorname{tr}(A)\)는 대각 성분들의 합이고, \(m\)은 세 개의 주요 2×2 소행렬식의 합입니다. 양변에 \(-1\)을 곱하면 최고차항 계수가 1인 단순 3차식이 되며, 이를 카르다노 공식(또는 삼각함수 해법)으로 정확하게 풀 수 있습니다. 답을 확인하는 두 가지 유용한 항등식이 있습니다. 모든 고윳값의 합은 대각합과 같고, 모든 고윳값의 곱은 행렬식과 같습니다. $$\sum \lambda_i = \operatorname{tr}(A), \qquad \prod \lambda_i = \det(A)$$

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고윳값은 특성 삼차방정식 \(\det(A-\lambda I)=0\) 의 근입니다.

풀이 예제

각 행이 [2,0,0], [0,3,4], [0,4,9]인 대칭 행렬을 살펴봅시다. 대각합은 14이고, 행렬식은 \(2\cdot(27-16)=22\)입니다. 오른쪽 아래 블록 \([[3,4],[4,9]]\)의 고윳값은 11과 1이며, 따로 떨어진 성분 2가 세 번째 고윳값이 됩니다. 따라서 고윳값은 11, 2, 1이 되며, 이는 계산기가 출력하는 결과와 정확히 일치합니다.

고유벡터는 A에 의해서도 방향을 유지하며, 고윳값 \(\lambda\)가 그 크기 배율입니다.

고유값 해석하기

고유값은 행렬이 특성 방향(characteristic direction)을 따라 공간을 어떻게 늘이는지, 압축하는지, 뒤집는지 또는 회전시키는지를 나타냅니다. 고유값의 부호와 구조는 직접적인 의미를 갖습니다.

• 모든 고유값이 양수(>0): 행렬이 양정치(positive-definite)입니다 (대칭 \(A\)의 경우). 모든 방향을 바깥쪽으로 늘이며, 이차 형식 \(x^\top A x\)는 항상 양수입니다. 이것은 최적화에서 엄격한 국소 최솟값의 조건이고 유효한 공분산 행렬의 조건입니다.
• 모든 고유값이 음수(<0): 음정치(negative-definite) — 모든 방향이 압축/반사됩니다. 동역학계(dynamical system)에서는 이것이 점근적으로 안정적인 평형점을 의미합니다.
• 부호가 섞여 있음: 행렬이 부정치(indefinite) — 안장점(saddle)입니다. 어떤 방향은 확장되고 다른 방향은 축소됩니다.
• 고유값이 0과 같음: 행렬이 특이행렬(singular, 역행렬 불가)이고 \(\det(A)=0\)입니다. 최소한 하나의 방향을 원점으로 축약하며, 영공간(null space)은 대응하는 고유공간입니다.

중복 근과 복소 근

• 중복(퇴화된) 고유값: 대수적 중복도와 기하적 중복도를 비교합니다. 중복된 고유값이 여전히 충분한 독립적인 고유벡터를 가지면 (기하적 중복도 = 대수적 중복도) 행렬은 대각화가능합니다. 고유벡터가 부족하면 결손이고 조던 형식이 필요합니다.
• 복소 켤레쌍 \(a\pm bi\): 실수 3×3 행렬은 항상 최소 하나의 실수 고유값을 가지므로 복소수 근은 하나의 켤레쌍과 하나의 실수값으로 나타납니다. 이 쌍은 2차원 불변 평면에서 회전과 크기조정을 나타냅니다. 계수(modulus) \(\sqrt{a^2+b^2}\)는 성장/감소율을 정하고 편각(argument)은 회전 각도를 정합니다.

영역별 의미

안정성 분석에서, 시스템의 야코비안의 고유값은 평형점의 행동을 결정합니다: 음의 실수부 → 안정, 양의 실수부 → 불안정, 순허수 → 진동. 주성분 분석(Principal Component Analysis, PCA)에서, 공분산 행렬의 고유값은 각 주 방향(고유벡터)을 따라 포착된 분산과 같습니다. 가장 큰 고유값은 가장 큰 분산의 축을 나타내고, 각 고유값과 그들의 합의 비는 설명되는 전체 분산의 비율입니다.

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주요 용어

고유값 (\(\lambda\))

영이 아닌 벡터 \(\mathbf{v}\)에 대해 \(A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\)를 만족하는 스칼라이고, 행렬이 그 방향을 늘이는 배수입니다.

고유벡터 (\(\mathbf{v}\))

행렬을 곱했을 때 방향이 변하지 않는(오직 크기만 변하는) 영이 아닌 벡터이고, 그 고유값의 고유공간을 생성합니다.

특성다항식

다항식 \(\det(A-\lambda I)\)이고, 3×3 행렬의 경우 근이 고유값인 3차 다항식 \(\lambda^3-\operatorname{tr}(A)\lambda^2+m\lambda-\det(A)\)입니다.

대각합, \(\operatorname{tr}(A)\)

대각 성분들의 합 \(a_{11}+a_{22}+a_{33}\)이고, 고유값들의 합과 같습니다.

행렬식, \(\det(A)\)

변환의 부피 스케일링을 측정하는 스칼라이고, 고유값들의 곱과 같습니다. 행렬식이 0이면 특이행렬입니다.

주 2×2 소행렬식 (\(m\))

하나의 행과 열을 일치하게 삭제한 후 남은 세 개의 2×2 행렬식의 합이고, 특성 3차식에서 \(\lambda\)의 계수이며 고유값들의 쌍곱의 합과 같습니다.

대수적 중복도

고유값이 특성다항식의 근으로 나타나는 횟수입니다.

기하적 중복도

고유값에 대한 선형독립 고유벡터의 개수(그 고유공간의 차원)입니다. 대수적 중복도를 초과하지 않으며, 모든 고유값에 대해 같으면 행렬은 대각화가능합니다.

복소 켤레 고유값

실수 행렬에서 나타나는 쌍 \(a+bi\)와 \(a-bi\)이고, 불변 평면에서 회전 성분을 나타냅니다.

항등행렬 (\(I\))

대각선에 1이 있고 다른 곳에 0이 있는 정사각 행렬이고, \(\lambda I\)는 \(A-\lambda I\)를 만들기 위해 \(A\)에서 빼집니다.

자주 묻는 질문

복소수 고윳값도 처리할 수 있나요? 대칭이 아닌 행렬은 켤레 복소수 고윳값을 가질 수 있습니다. 이 계산기는 실근은 정확하게 출력하고, 복소수 쌍의 경우 실수부를 보여줍니다. 대칭 행렬은 항상 세 개의 실수 고윳값을 가집니다.

대각합은 어디에 쓰이나요? 대각합은 모든 고윳값의 합과 같으므로, 결과를 빠르게 검산하는 데 유용합니다.

중복 고윳값도 지원하나요? 네. 중복된 근은 단순히 목록에 여러 번 나타납니다.