यह कैलकुलेटर क्या करता है
3×3 मैट्रिक्स आइगेनवैल्यू कैलकुलेटर किसी भी वास्तविक (real) 3×3 मैट्रिक्स के तीनों आइगेनवैल्यू निकालता है। आइगेनव␇ैल्यू वे विशेष स्केलर \(\lambda\) होते हैं जिनके लिए कोई शून्येतर (non-zero) सदिश \(v\) ऐसा होता है कि \(Av = \lambda v\)। ये बताते हैं कि कोई रैखिक रूपांतरण (linear transformation) अपनी विशिष्ट दिशाओं में स्थान को कैसे खींचता या दबाता है। भौतिकी, इंजीनियरिंग, सांख्यिकी (PCA) और स्थिरता विश्लेषण (stability analysis) — हर जगह इनका उपयोग होता है।
इसका उपयोग कैसे करें
अपनी मैट्रिक्स A की नौ संख्याएँ उनके ग्रिड स्थानों (a₁₁ से a₃₃ तक) में भरें और सबमिट करें। कैलकुलेटर अभिलाक्षणिक बहुपद (characteristic polynomial) \(\det(A - \lambda I) = 0\) बनाता है, उससे बनने वाले घन समीकरण (cubic) को हल करता है, और आइगेनवैल्यू को सबसे बड़े से सबसे छोटे क्रम में लौटाता है। साथ ही ट्रेस और डिटरमिनेंट भी दिखाता है, ताकि आप उत्तर की जाँच कर सकें।
सूत्र की व्याख्या
किसी 3×3 मैट्रिक्स के लिए अभिलाक्षणिक समीकरण एक घन समीकरण के रूप में फैलता है: $$\det(A - \lambda I) = -\lambda^3 + \operatorname{tr}(A)\,\lambda^2 - m\,\lambda + \det(A) = 0$$ जहाँ \(\operatorname{tr}(A)\) विकर्ण (diagonal) तत्वों का योग है और \(m\) तीनों मुख्य 2×2 माइनर का योग है। इसे \(-1\) से गुणा करने पर एक मॉनिक घन समीकरण मिलता है, जिसे कार्डानो विधि / त्रिकोणमितीय विधि से ठीक-ठीक हल किया जाता है। दो उपयोगी सर्वसमिकाएँ उत्तर की पुष्टि करती हैं: सभी आइगेनवैल्यू का योग ट्रेस के बराबर होता है, और उनका गुणनफल डिटरमिनेंट के बराबर होता है: $$\sum \lambda_i = \operatorname{tr}(A), \qquad \prod \lambda_i = \det(A)$$
हल किया हुआ उदाहरण
एक सममित (symmetric) मैट्रिक्स लें जिसकी पंक्तियाँ [2,0,0], [0,3,4], [0,4,9] हैं। इसका ट्रेस 14 है और डिटरमिनेंट \(2\cdot(27-16)=22\) है। नीचे-दाएँ कोने का ब्लॉक [[3,4],[4,9]] के आइगेनवैल्यू 11 और 1 हैं, और अलग पड़ा हुआ 2 तीसरा आइगेनवैल्यू देता है। इस प्रकार आइगेनवैल्यू हैं 11, 2 और 1 — ठीक वही जो कैलकुलेटर लौटाता है।
आपके आइजनमानों की व्याख्या
आइजनमान बताते हैं कि मैट्रिक्स अपनी विशेषता दिशाओं के साथ अंतरिक्ष को कैसे खींचती है, संपीड़ित करती है, पलटती है, या घुमाती है। उनके चिन्ह और संरचना सीधा अर्थ रखते हैं।
- सभी आइजनमान धनात्मक (>0): मैट्रिक्स धनात्मक-निश्चित है (सममित \(A\) के लिए)। यह हर दिशा को बाहर की ओर खींचता है; द्विघात रूप \(x^\top A x\) हमेशा धनात्मक होते हैं। यह अनुकूलन में सख्त स्थानीय न्यूनतम के लिए और एक वैध सहप्रसरण मैट्रिक्स के लिए शर्त है।
- सभी आइजनमान ऋणात्मक (<0): ऋणात्मक-निश्चित — हर दिशा संपीड़ित/प्रतिबिंबित होती है। गतिशील प्रणालियों में इसका अर्थ है एक स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर संतुलन।
- मिश्रित चिन्ह: मैट्रिक्स अनिश्चित है — एक काठी। कुछ दिशाएँ विस्तारित होती हैं, अन्य सिकुड़ती हैं।
- एक आइजनमान शून्य के बराबर: मैट्रिक्स विलक्षण (अ-व्युत्क्रमणीय) है और \(\det(A)=0\)। यह कम से कम एक दिशा को मूल बिंदु पर समाप्त करता है; रिक्त स्थान संगत आइजन-स्पेस है।
दोहराए गए और जटिल मूल
- दोहराए गए (पतित) आइजनमान: बीजगणितीय और ज्यामितीय बहुलता की तुलना करें। यदि एक दोहराया गया आइजनमान अभी भी पर्याप्त स्वतंत्र आइजनवेक्टर रखता है (ज्यामितीय = बीजगणितीय बहुलता) तो मैट्रिक्स विकर्णीकरणीय है; यदि इसमें बहुत कम है तो यह त्रुटिपूर्ण है और जॉर्डन रूप की आवश्यकता है।
- जटिल संयुग्म युग्म \(a\pm bi\): एक वास्तविक 3×3 मैट्रिक्स के पास हमेशा कम से कम एक वास्तविक आइजनमान होता है, इसलिए जटिल मूल एक एकल संयुग्म युग्म और एक वास्तविक मान के रूप में दिखाई देते हैं। यह युग्म एक 2D अपरिवर्तनीय तल में घूर्णन-के साथ-स्केलिंग को इंगित करता है; मॉड्यूलस \(\sqrt{a^2+b^2}\) वृद्धि/क्षय दर निर्धारित करता है और तर्क घूर्णन कोण निर्धारित करता है।
डोमेन अर्थ
स्थिरता विश्लेषण में, एक सिस्टम के जैकोबियन के आइजनमान संतुलन व्यवहार निर्धारित करते हैं: ऋणात्मक वास्तविक भाग → स्थिर, कोई भी धनात्मक वास्तविक भाग → अस्थिर, विशुद्ध रूप से काल्पनिक → दोलन। मुख्य घटक विश्लेषण (PCA) में, सहप्रसरण मैट्रिक्स के आइजनमान प्रत्येक मुख्य दिशा (आइजनवेक्टर) के साथ कैप्चर किए गए विचरण के बराबर होते हैं; सबसे बड़ा आइजनमान सबसे बड़े प्रसार की धुरी को चिह्नित करता है, और प्रत्येक आइजनमान का उनके योग से अनुपात कुल विचरण की व्याख्या का अंश है।
मुख्य शर्तें
- आइजनमान (\(\lambda\))
- एक अदिश ऐसा कि \(A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v}\) कुछ शून्येतर वेक्टर \(\mathbf{v}\) के लिए; यह वह गुणक है जिससे मैट्रिक्स उस दिशा को स्केल करता है।
- आइजनवेक्टर (\(\mathbf{v}\))
- एक शून्येतर वेक्टर जिसकी दिशा अपरिवर्तित रहती है (केवल स्केल किया जाता है) जब मैट्रिक्स से गुणा किया जाता है; यह अपने आइजनमान के आइजन-स्पेस को फैलाता है।
- विशेषता बहुपद
- बहुपद \(\det(A-\lambda I)\); एक 3×3 मैट्रिक्स के लिए यह घन \(\lambda^3-\operatorname{tr}(A)\lambda^2+m\lambda-\det(A)\) है, जिसके मूल आइजनमान हैं।
- ट्रेस, \(\operatorname{tr}(A)\)
- विकर्ण प्रविष्टियों का योग \(a_{11}+a_{22}+a_{33}\); यह आइजनमानों के योग के बराबर है।
- निर्धारक, \(\det(A)\)
- रूपांतरण के आयतन स्केलिंग को मापने वाली एक अदिश; यह आइजनमानों के गुणनफल के बराबर है। शून्य निर्धारक का अर्थ है एक विलक्षण मैट्रिक्स।
- मुख्य 2×2 लघु (\(m\))
- एक मिलान वाली पंक्ति और स्तंभ को हटाने के बाद बचे तीन 2×2 निर्धारकों का योग; यह विशेषता घन में \(\lambda\) का गुणांक है और आइजनमानों के जोड़ीदार गुणनफल के योग के बराबर है।
- बीजगणितीय बहुलता
- एक आइजनमान विशेषता बहुपद की जड़ के रूप में प्रकट होने की संख्या।
- ज्यामितीय बहुलता
- एक आइजनमान के लिए रैखिक रूप से स्वतंत्र आइजनवेक्टर की संख्या (इसके आइजन-स्पेस का आयाम)। यह कभी भी बीजगणितीय बहुलता से अधिक नहीं होता है; हर आइजनमान के लिए समानता का अर्थ है मैट्रिक्स विकर्णीकरणीय है।
- जटिल संयुग्म आइजनमान
- एक युग्म \(a+bi\) और \(a-bi\) जो वास्तविक मैट्रिक्स के लिए उत्पन्न होता है; वे एक अपरिवर्तनीय तल में एक घूर्णन घटक को संकेत करते हैं।
- तत्समक मैट्रिक्स (\(I\))
- विकर्ण पर 1 और अन्यत्र 0 के साथ वर्ग मैट्रिक्स; \(\lambda I\) को \(A\) से घटाया जाता है \(A-\lambda I\) बनाने के लिए।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या यह सम्मिश्र (complex) आइगेनवैल्यू संभालता है? असममित (non-symmetric) मैट्रिक्स के आइगेनवैल्यू सम्मिश्र संयुग्मी (complex conjugate) हो सकते हैं। यह टूल वास्तविक मूल को ठीक-ठीक और किसी सम्मिश्र जोड़े के वास्तविक भागों को दिखाता है। सममित मैट्रिक्स के तीनों आइगेनवैल्यू हमेशा वास्तविक होते हैं।
ट्रेस किस काम आता है? यह सभी आइगेनवैल्यू के योग के बराबर होता है — परिणाम की पुष्टि करने का एक त्वरित तरीका।
क्या दोहराए गए (repeated) आइगेनवैल्यू समर्थित हैं? हाँ — दोहराया गया मूल सूची में बस एक से अधिक बार दिखाई देता है।
