¿Qué es la calculadora de valores propios 2x2?
Un valor propio (o autovalor) de una matriz cuadrada A es un escalar \(\lambda\) para el que existe un vector no nulo v que cumple \(Av = \lambda v\). Esta calculadora obtiene los dos valores propios de cualquier matriz 2x2 \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\), tanto si los autovalores son reales como si forman un par complejo conjugado.
Cómo usarla
Introduce los cuatro elementos de tu matriz: a y b en la primera fila, c y d en la segunda. La calculadora obtiene la traza, el determinante y el discriminante, y a continuación devuelve los dos valores propios. Si el discriminante es negativo, el resultado se muestra como un par complejo conjugado \(x \pm yi\).
La fórmula explicada
Los valores propios son las soluciones de la ecuación característica \(\det(A - \lambda I) = 0\), que para una matriz 2x2 se desarrolla como \(\lambda^2 - (\text{tr})\lambda + \det = 0\), donde la traza \(\text{tr} = a + d\) y el determinante \(\det = ad - bc\). Al aplicar la fórmula cuadrática obtenemos $$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^2 - 4\cdot\det}}{2}.$$ La expresión bajo la raíz, \(\text{tr}^2 - 4\cdot\det\), es el discriminante: si es positivo los valores propios son reales y distintos; si es cero, hay un único valor propio real repetido; y si es negativo, se trata de un par complejo conjugado.
Ejemplo resuelto
Para \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\): \(\text{tr} = 4\), \(\det = 2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3\), discriminante \(= 16 - 12 = 4\). Entonces $$\lambda = \frac{4 \pm 2}{2},$$ de modo que \(\lambda_1 = 3\) y \(\lambda_2 = 1\).
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si el discriminante es negativo? La matriz no tiene valores propios reales; la calculadora devuelve el par complejo conjugado \(\frac{\text{tr}}{2} \pm \frac{\sqrt{-\text{disc}}}{2}i\).
¿Pueden ser iguales los valores propios? Sí. Cuando el discriminante es exactamente cero, ambos valores propios valen \(\frac{\text{tr}}{2}\) (un valor propio repetido).
¿Qué información aportan los valores propios? Describen cómo la transformación lineal A estira el espacio en las direcciones de sus vectores propios y son fundamentales en el análisis de estabilidad, el ACP (análisis de componentes principales) y las ecuaciones diferenciales.
