2x2 Matris Özdeğer Hesaplama

Hesaplamaya Girin

a (1. satır, 1. sütun)

b (1. satır, 2. sütun)

c (2. satır, 1. sütun)

d (2. satır, 2. sütun)

Özdeğerlerini bulmak için A = [[a, b], [c, d]] 2x2 matrisinin dört değerini girin.

Sonuç

A'nın özdeğerleri

λ₁ = 3
λ₂ = 1

gerçek özdeğerler

İz (a + d)	4
Determinant (ad − bc)	3
Diskriminant (iz² − 4·det)	4

2x2 Özdeğer Hesaplayıcı nedir?

Bir kare matris A'nın özdeğeri (eigenvalue), \(Av = \lambda v\) eşitliğini sağlayan sıfırdan farklı bir \(v\) vektörünün bulunduğu \(\lambda\) skaler değeridir. Bu hesaplayıcı, \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) biçimindeki herhangi bir 2x2 matrisin her iki özdeğerini de bulur; özdeğerlerin gerçek sayı olduğu durumu da, karmaşık eşlenik çift oluşturduğu durumu da ele alır.

Nasıl kullanılır?

Matrisinizin dört değerini girin: ilk satıra a ve b, ikinci satıra c ve d. Hesaplayıcı izi (trace), determinantı ve diskriminantı hesaplar, ardından iki özdeğeri verir. Diskriminant negatifse sonuç, \(x \pm yi\) biçiminde bir karmaşık eşlenik çift olarak gösterilir.

Formülün açıklaması

Özdeğerler, \(\det(A - \lambda I) = 0\) karakteristik denklemini çözer. Bu denklem 2x2 bir matris için \(\lambda^2 - (\text{iz})\lambda + \det = 0\) biçimine açılır; burada iz \(\text{tr} = a + d\) ve determinant \(\det = ad - bc\)'dir. İkinci dereceden denklem formülü uygulandığında

$$\lambda = \frac{(\text{a} + \text{d}) \pm \sqrt{(\text{a} + \text{d})^2 - 4(\text{a}\,\text{d} - \text{b}\,\text{c})}}{2}$$

elde edilir. Kök içindeki ifade olan \(\text{iz}^2 - 4\cdot\det\) diskriminanttır: pozitif olduğunda özdeğerler birbirinden farklı gerçek sayılardır, sıfır olduğunda tekrar eden tek bir gerçek değerdir, negatif olduğunda ise karmaşık eşleniklerdir.

Reklam

Diskriminantın (tr²−4det) işareti, özdeğerlerin gerçek, katlı mı yoksa karmaşık eşlenik mi olduğunu belirler.

Özdeğer formülü matrisin izine (köşegen toplamı) ve determinantına dayanır.

Çözümlü örnek

\(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}\) için: iz = 4, \(\det = 2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3\), diskriminant = \(16 - 12 = 4\). Buradan

$$\lambda = \frac{4 \pm 2}{2}$$

olur ve \(\lambda_1 = 3\) ile \(\lambda_2 = 1\) bulunur.

Sık sorulan sorular

Diskriminant negatifse ne olur? Matrisin gerçek özdeğeri yoktur; hesaplayıcı \(\frac{\text{iz}}{2} \pm \frac{\sqrt{-\text{disk}}}{2}i\) karmaşık eşlenik çiftini verir.

Özdeğerler eşit olabilir mi? Evet. Diskriminant tam olarak sıfır olduğunda her iki özdeğer de \(\text{iz}/2\)'ye eşittir (tekrar eden özdeğer).

Özdeğerler bana ne anlatır? A doğrusal dönüşümünün özvektör yönleri boyunca uzayı nasıl gerdiğini gösterirler ve kararlılık analizi, temel bileşen analizi (PCA) ve diferansiyel denklemler için temel öneme sahiptirler.