2×2 고윳값 계산기란?
이 도구는 2×2 행렬 [[a, b], [c, d]]의 고윳값을 구합니다. 고윳값은 0이 아닌 벡터 v에 대해 \(Av = \lambda v\)를 만족하는 스칼라 \(\lambda\)를 말합니다. 고윳값은 선형변환이 공간을 어떻게 늘리고, 줄이고, 회전시키는지를 보여주며 물리학, 공학, 통계학, 미분방정식 등 다양한 분야에서 등장합니다.
사용 방법
행렬의 네 원소를 입력하세요. 첫 번째 행에 a와 b, 두 번째 행에 c와 d를 넣으면 됩니다. 계산기는 두 개의 고윳값을 반환합니다. 실수일 경우 두 개의 실수가 나오고, 판별식이 음수이면 \(p \pm qi\) 형태의 켤레복소수 쌍이 나옵니다. 대각합, 행렬식, 판별식도 함께 표시되어 계산 과정을 직접 확인할 수 있습니다.
공식 설명
고윳값은 특성다항식 \(\det(A - \lambda I) = 0\)의 근입니다. 2×2 행렬에서는 이 식이 \(\lambda^{2} - (\operatorname{tr})\lambda + \det = 0\)으로 간단해지며, 여기서 대각합 \(\operatorname{tr} = a + d\), 행렬식 \(\det = ad - bc\)입니다. 근의 공식으로 풀면 다음과 같습니다.
$$\lambda = \frac{\operatorname{tr} \pm \sqrt{\operatorname{tr}^{2} - 4\cdot\det}}{2}$$근호 안의 값 \(\operatorname{tr}^{2} - 4\cdot\det\)는 판별식으로, 양수이면 서로 다른 두 실수 고윳값, 0이면 중복된 하나의 실수 고윳값, 음수이면 켤레복소수 쌍을 의미합니다.
계산 예시
행렬 [[2, 1], [1, 2]]의 경우: \(\operatorname{tr} = 2 + 2 = 4\), \(\det = 2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3\), 판별식 \(= 16 - 12 = 4\), \(\sqrt{4} = 2\)입니다. 따라서 다음과 같이 됩니다.
$$\lambda_{1} = \frac{4 + 2}{2} = 3, \quad \lambda_{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1$$자주 묻는 질문
고윳값이 복소수이면 어떻게 되나요? 판별식이 음수이면 켤레복소수 쌍 \(\frac{\operatorname{tr}}{2} \pm \frac{\sqrt{4\cdot\det - \operatorname{tr}^{2}}}{2}\,i\)가 나옵니다. 예를 들어 회전행렬 [[0, −1], [1, 0]]은 대각합이 0, 행렬식이 1이므로 \(\lambda = \pm i\)가 됩니다.
두 고윳값이 같을 수도 있나요? 네, 판별식이 정확히 0일 때 행렬은 중복된 고윳값 \(\frac{\operatorname{tr}}{2}\) 하나를 가집니다.
고윳값은 대각합·행렬식과 어떤 관계가 있나요? 두 고윳값의 합은 대각합과 같고, 두 고윳값의 곱은 행렬식과 같습니다.
