什麼是 2×2 特徵值計算機？
這個工具可以求出 2×2 矩陣 [[a, b], [c, d]] 的特徵值。所謂特徵值，是指存在某個非零向量 v，使得 \(Av = \lambda v\) 成立的純量 \(\lambda\)。特徵值揭示了線性變換如何拉伸、壓縮或旋轉空間，在物理、工程、統計與微分方程等領域都會反覆用到。
如何使用
輸入矩陣的四個元素：第一列填入 a 與 b，第二列填入 c 與 d。計算機會回傳兩個特徵值。若為實數，會得到兩個實數值；若判別式為負，則會得到一對共軛複數，寫成 \(p \pm qi\) 的形式。計算結果也會同時顯示跡、行列式與判別式，方便你核對過程。
公式解析
特徵值就是特徵多項式 \(\det(A - \lambda I) = 0\) 的根。對 2×2 矩陣而言，可化簡為 \(\lambda^{2} - (\text{tr})\lambda + \det = 0\)，其中跡 \(\text{tr} = a + d\)，行列式 \(\det = ad - bc\)。用一元二次公式求解可得
$$\lambda_{1,2} = \frac{T \pm \sqrt{T^{2} - 4D}}{2} \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} T &= \text{a} + \text{d} \\ D &= \text{a}\,\text{d} - \text{b}\,\text{c} \end{aligned} \right.$$根號內的 \(\text{tr}^{2} - 4\cdot\det\) 即為判別式：大於零代表有兩個相異的實數特徵值，等於零代表有一個重根的實數特徵值，小於零則代表是一對共軛複數。
範例演算
以 [[2, 1], [1, 2]] 為例：\(\text{tr} = 2 + 2 = 4\)，\(\det = 2\cdot2 - 1\cdot1 = 3\)，判別式 \(= 16 - 12 = 4\)，\(\sqrt{4} = 2\)。因此 \(\lambda_1 = (4 + 2)/2 = 3\)，\(\lambda_2 = (4 - 2)/2 = 1\)。
常見問題
如果特徵值是複數怎麼辦？當判別式為負時，會得到一對共軛複數 \(\text{tr}/2 \pm (\sqrt{4\cdot\det - \text{tr}^{2}}/2)\cdot i\)。例如旋轉矩陣 [[0, −1], [1, 0]] 的跡為 0、行列式為 1，特徵值便是 \(\lambda = \pm i\)。
兩個特徵值可能相等嗎？可以——當判別式恰好為零時，矩陣會有一個重根特徵值 \(\text{tr}/2\)。
特徵值與跡、行列式有什麼關係？兩個特徵值的總和等於跡，乘積等於行列式。
