什么是 2×2 特征值计算器？
这个工具用于求解 2×2 矩阵 [[a, b], [c, d]] 的特征值。所谓特征值，是指满足 \(Av = \lambda v\)（其中 v 为非零向量）的标量 \(\lambda\)。它们揭示了一个线性变换如何对空间进行拉伸、压缩或旋转，在物理、工程、统计学以及微分方程等领域中被广泛应用。
如何使用
依次填入矩阵的四个元素：第一行的 a 和 b，第二行的 c 和 d。计算器会返回两个特征值。如果是实数，你会得到两个实数解；如果判别式为负，则得到一对共轭复数解，写作 \(p \pm qi\)。同时还会显示迹、行列式和判别式，方便你核对计算结果。
公式详解
特征值是特征多项式 \(\det(A - \lambda I) = 0\) 的根。对于 2×2 矩阵，它可以化简为 \(\lambda^2 - (\text{tr})\lambda + \det = 0\)，其中迹 \(\text{tr} = a + d\)，行列式 \(\det = ad - bc\)。用求根公式即可得到
$$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^2 - 4\cdot\det}}{2}$$根号下的 \(\text{tr}^2 - 4\cdot\det\) 称为判别式：为正时有两个不同的实特征值；为零时有一个重复的实特征值；为负时则得到一对共轭复数特征值。
计算示例
以 [[2, 1], [1, 2]] 为例：\(\text{tr} = 2 + 2 = 4\)，\(\det = 2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3\)，判别式 \(= 16 - 12 = 4\)，\(\sqrt{4} = 2\)。于是
$$\lambda_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3, \qquad \lambda_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1$$常见问题
如果特征值是复数怎么办？ 当判别式为负时，会得到一对共轭复数 \(\frac{\text{tr}}{2} \pm \frac{\sqrt{4\cdot\det - \text{tr}^2}}{2}\,i\)。例如旋转矩阵 [[0, −1], [1, 0]] 的迹为 0，行列式为 1，其特征值为 \(\lambda = \pm i\)。
两个特征值可以相等吗？ 可以。当判别式恰好为零时，矩阵只有一个重复的特征值 \(\frac{\text{tr}}{2}\)。
特征值与迹、行列式有什么关系？ 两个特征值之和等于迹，两者之积等于行列式。
