2×2行列の固有値計算機とは？
このツールは、2×2行列 \([[a, b], [c, d]]\) の固有値を求めます。固有値とは、ある非ゼロベクトル \(v\) に対して \(Av = \lambda v\) が成り立つようなスカラー \(\lambda\) のことです。固有値は、線形変換が空間をどのように伸ばし、縮め、あるいは回転させるかを表しており、物理学・工学・統計学・微分方程式など、さまざまな分野で登場します。
使い方
4つの行列成分を入力します。1行目に \(a\) と \(b\)、2行目に \(c\) と \(d\) を入力してください。計算機は2つの固有値を返します。固有値が実数であれば2つの実数値が、判別式が負であれば \(p \pm qi\) の形で表される複素共役のペアが得られます。トレース・行列式・判別式も表示されるので、計算の確認に役立ちます。
計算式の解説
固有値は、特性多項式 \(\det(A - \lambda I) = 0\) の解です。2×2行列の場合、この式は \(\lambda^{2} - (\text{tr})\lambda + \det = 0\) に簡略化されます。ここで、トレースは \(\text{tr} = a + d\)、行列式は \(\det = ad - bc\) です。二次方程式の解の公式を用いると、次のようになります。
$$\lambda = \frac{\text{tr} \pm \sqrt{\text{tr}^{2} - 4\cdot\det}}{2}$$平方根の中の値 \(\text{tr}^{2} - 4\cdot\det\) が判別式です。判別式が正なら異なる2つの実数固有値、0なら重解（重複した実数固有値）、負なら複素共役のペアになります。
計算例
\([[2, 1], [1, 2]]\) の場合：\(\text{tr} = 2 + 2 = 4\)、\(\det = 2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3\)、判別式 \(= 16 - 12 = 4\)、\(\sqrt{4} = 2\) となります。したがって $$\lambda_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3, \qquad \lambda_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1$$ です。
よくある質問
固有値が複素数になる場合は？ 判別式が負のとき、固有値は共役のペア \(\frac{\text{tr}}{2} \pm \frac{\sqrt{4\cdot\det - \text{tr}^{2}}}{2}\,i\) になります。回転行列 \([[0, -1], [1, 0]]\) はトレースが0、行列式が1なので、\(\lambda = \pm i\) となります。
2つの固有値が等しくなることはありますか？ はい。判別式がちょうど0のとき、行列は重複した1つの固有値 \(\frac{\text{tr}}{2}\) を持ちます。
固有値はトレースや行列式とどう関係していますか？ 2つの固有値の和はトレースに等しく、積は行列式に等しくなります。
