Máy tính lũy thừa ma trận là gì?
Công cụ này nâng một ma trận vuông A lên lũy thừa nguyên n, ký hiệu là \(A^{n}\). Nó nhân ma trận với chính nó n lần và trả về ma trận kết quả. Công cụ hoạt động với các ma trận số thực kích thước 2x2, 3x3 và 4x4. Lũy thừa ma trận xuất hiện ở khắp nơi trong đại số tuyến tính: chuỗi Markov và ma trận chuyển trạng thái, lũy thừa ma trận kề của đồ thị (đếm số đường đi), hệ động lực rời rạc, cùng các hệ thức truy hồi như dãy Fibonacci.
Cách sử dụng
Chọn kích thước ma trận, nhập từng phần tử của A vào lưới theo từng ô (cho phép số thập phân và số âm), sau đó nhập số mũ nguyên n rồi bấm tính. Dùng n = 0 để nhận ma trận đơn vị, n = 1 để giữ nguyên A, và bất kỳ n ≥ 2 nào để nhân lặp lại. Nếu A khả nghịch, bạn cũng có thể nhập n âm; khi đó máy sẽ tính ma trận nghịch đảo trước rồi nâng nó lên lũy thừa |n|.
Công thức
Lũy thừa được định nghĩa đệ quy: \(A^{0} = I\) (ma trận đơn vị), \(A^{1} = A\), và \(A^{n} = A \cdot A^{n-1}\).
$$A^{\,n} = \underbrace{A \cdot A \cdots A}_{n\ \text{times}}$$Tích \(C = A \cdot B\) của hai ma trận j×j có các phần tử \(C[i][k] = \sum A[i][m] \cdot B[m][k]\). Máy tính này dùng phương pháp lũy thừa bằng cách bình phương liên tiếp để tăng hiệu quả, nhưng kết quả hoàn toàn giống với phép nhân lặp lại thông thường. Lũy thừa ma trận chỉ xác định khi A là ma trận vuông (số hàng = số cột).
Ví dụ minh họa
Cho \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\) và \(n = 2\). Khi đó \(A^2 = A \cdot A\) cho ra
$$c_{11} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 = 7,\quad c_{12} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 = 10,$$$$c_{21} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 3 = 15,\quad c_{22} = 3 \cdot 2 + 4 \cdot 4 = 22,$$vậy \(A^2 = \begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{bmatrix}\). Bình phương thêm một lần nữa (hoặc tính \(A^3 = A^2 \cdot A\)) ta được \(A^3 = \begin{bmatrix} 37 & 54 \\ 81 & 118 \end{bmatrix}\).
Câu hỏi thường gặp
n = 0 trả về kết quả gì? Theo quy ước, đó là ma trận đơn vị I cùng kích thước.
Tôi có thể dùng số mũ âm không? Có, nếu A khả nghịch (định thức ≠ 0). \(A^{-k}\) bằng \(\left(A^{-1}\right)^{k}\).
$$A^{\,n} = \left(A^{-1}\right)^{\left|n\right|},\quad \det(A) \neq 0$$Nếu định thức bằng 0 thì kết quả không xác định và máy tính sẽ cảnh báo bạn.
Vì sao một số phần tử hiển thị số thập phân rất nhỏ? Sai số làm tròn của số dấu phẩy động có thể tích lũy với lũy thừa lớn hoặc phần tử lớn; kết quả được làm tròn đến khoảng 14 chữ số có nghĩa.
