Что такое обратная матрица 2×2?

Обратная матрица к квадратной матрице A обозначается как A⁻¹ — это такая матрица, для которой выполняется равенство $A \cdot A^{-1} = I$, где I — единичная матрица. Для матрицы 2×2 обратную можно найти по одной компактной формуле. Наш калькулятор мгновенно вычисляет определитель и каждый элемент обратной матрицы, а также подсказывает, когда обратной матрицы не существует.

Две матрицы 2x2 A и A обратная, перемножаемые в единичную матрицу — Умножение матрицы на обратную ей даёт единичную матрицу.

Как пользоваться калькулятором

Введите четыре элемента матрицы: a и b в верхней строке, c и d — в нижней. Сначала калькулятор вычисляет определитель $ad - bc$. Если он не равен нулю, вы получите полную обратную матрицу; если же он равен нулю, матрица будет отмечена как вырожденная (обратной матрицы не существует).

Разбираем формулу

Для матрицы $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ определитель равен $$\det(A) = ad - bc.$$ Обратная матрица вычисляется так: $$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}.$$ Иными словами: меняем местами a и d, меняем знаки у b и c, а затем делим каждый элемент на определитель. Когда $\det = 0$, деление невозможно, поэтому обратной матрицы не существует.

Схема, показывающая преобразование по формуле обратной матрицы 2x2 — Обратная матрица меняет местами a и d, меняет знаки b и c и делит на определитель.

Разбор на примере

Возьмём $A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{bmatrix}$. Определитель равен $$(4 \cdot 6) - (7 \cdot 2) = 24 - 14 = 10.$$ Тогда $$A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0{,}6 & -0{,}7 \\ -0{,}2 & 0{,}4 \end{bmatrix}.$$ Проверить результат можно, перемножив $A \cdot A^{-1}$ — должна получиться единичная матрица.

Частые вопросы

Когда у матрицы 2×2 нет обратной? Когда её определитель $ad - bc$ равен нулю. Такую матрицу называют вырожденной (особой).

Могут ли в обратной матрице быть дробные числа? Да — деление на определитель часто даёт дробные значения.

Как проверить ответ? Умножьте исходную матрицу на полученную обратную: в результате должна получиться единичная матрица 2×2 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.

Дополнительные разобранные примеры

Для матрицы 2×2 $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$, обратная матрица имеет вид $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$, справедливо только когда определитель $ad-bc \neq 0$.

Пример 1 — матрица с отрицательными элементами

Пусть $A = \begin{bmatrix} 2 & -3 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}$, тогда $a=2,\ b=-3,\ c=4,\ d=-1$.

Определитель: $ad - bc = (2)(-1) - (-3)(4) = -2 + 12 = $10.
Поменяем $a$ и $d$ местами, сменим знак у $b$ и $c$: $\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$.
Разделим на определитель: $A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.1 & 0.3 \\ -0.4 & 0.2 \end{bmatrix}$.

Проверка: $A\,A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, единичная матрица.

Пример 2 — вырожденная матрица (без обратной)

Пусть $A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$, тогда $a=2,\ b=4,\ c=1,\ d=2$.

Определитель: $ad - bc = (2)(2) - (4)(1) = 4 - 4 = $0.
Так как определитель равен $0$, множитель $\frac{1}{ad-bc}$ не определен (деление на нуль).
Следовательно, матрица $A$ вырождена и не имеет обратной. Здесь вторая строка $(1,2)$ ровно в два раза меньше первой строки $(2,4)$, поэтому строки линейно зависимы.

Пример 3 — чистые дробные элементы

Пусть $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$, тогда $a=1,\ b=2,\ c=3,\ d=4$.

Определитель: $ad - bc = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2$.
Составим присоединённую матрицу: $\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$.
Разделим на $-2$: $A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{bmatrix}$.

Вы можете проверить умножением матрицы $A$ и её обратной $A^{-1}$ с помощью произведения; результат должен быть единичной матрицей.

Ключевые понятия

Определитель: Единственное скалярное значение, вычисляемое из матрицы. Для матрицы 2×2 оно равно $ad - bc$. Оно показывает, как матрица масштабирует площадь, и указывает, существует ли обратная матрица: обратная матрица существует только при ненулевом определителе.
Вырожденная матрица: Квадратная матрица с определителем, равным $0$. Вырожденная матрица не имеет обратной, потому что формула требует деления на определитель. Её строки (и столбцы) линейно зависимы.
Обратимая / невырожденная матрица: Квадратная матрица с ненулевым определителем. Она имеет уникальную обратную матрицу $A^{-1}$ такую, что $A\,A^{-1} = A^{-1}A = I$. Термины "обратимая" и "невырожденная" означают одно и то же.
Единичная матрица: Квадратная матрица с $1$ на главной диагонали и $0$ в остальных местах, обозначаемая $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ в случае 2×2. Умножение любой матрицы на $I$ не изменяет её, и $A\,A^{-1}=I$.
Обратная матрица $(A^{-1})$: Матрица, которая "отменяет" действие $A$: уникальная матрица, удовлетворяющая условию $A\,A^{-1} = I$. Для матрицы 2×2 она находится путём перестановки $a$ и $d$, смены знака у $b$ и $c$ и деления каждого элемента на определитель.
Элементы $a, b, c, d$: Четыре числа матрицы $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$: $a$ — верхний левый угол (строка 1, столбец 1), $b$ — верхний правый (строка 1, столбец 2), $c$ — нижний левый (строка 2, столбец 1), $d$ — нижний правый (строка 2, столбец 2). $a$ и $d$ образуют главную диагональ.

Элемент обратной матрицы	Значение
A⁻¹ строка 1, столбец 1	0,6
A⁻¹ строка 1, столбец 2	-0,7
A⁻¹ строка 2, столбец 1	-0,2
A⁻¹ строка 2, столбец 2	0,4

Калькулятор обратной матрицы 2×2

Введите расчет

Математическая формула

Результатов