3×3 역행렬 계산기

계산 입력

행렬 A {a_ij}

유효숫자 자릿수 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

결과

Inverse matrix A^-1

1 -0 0 -0 1 -0 0 -0 1

A의 행렬식	1
표시 정밀도	14 significant digits
단위행렬 확인	A · A-1 = I

0

3×3 역행렬 계산기란?

이 도구는 실수로 이루어진 임의의 3×3 행렬에 대해 역행렬 A^-1을 계산해 줍니다. 역행렬은 \(A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A = I\)를 만족하는 유일한 행렬이며, 여기서 I는 3×3 단위행렬입니다. 역행렬은 A의 행렬식(determinant)이 0이 아닐 때만 존재합니다. 행렬식이 0이면 그 행렬은 특이행렬(singular matrix)이라 부르며, 역행렬을 가지지 않습니다.

사용 방법

행렬의 9개 원소를 한 칸씩, 행 단위로 차례대로 입력하세요. a11~a33이라는 라벨은 각각 i행 j열을 의미합니다. 값은 일반 소수 형태로 입력해야 하며, 1/3 같은 분수 표기는 인식되지 않습니다. 필요하다면 결과 표시에 사용할 유효숫자 자릿수를 선택할 수 있습니다. ‘계산’ 버튼을 누르면 역행렬과 행렬식이 함께 표시됩니다.

계산 공식

\(A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\)일 때 행렬식은 $$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$로 구합니다. 역행렬은 여인수행렬(cofactor matrix)의 전치행렬, 즉 수반행렬(adjugate)을 행렬식으로 나눈 것입니다: $$b_{ij} = \frac{C_{ji}}{\det A}.$$

역행렬은 수반행렬을 행렬식의 역수로 곱한 것과 같다.

예제로 풀어보기

\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix}\)를 예로 들어 보겠습니다. $$\det A = 1(0-24) - 2(0-20) + 3(0-5) = -24 + 40 - 15 = 1$$이 됩니다. 따라서 역행렬은 $$A^{-1} = \begin{bmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{bmatrix}$$입니다. \(A\cdot A^{-1} = I\)가 성립하는지 직접 확인해 볼 수 있습니다.

각 여인수는 2x2 소행렬식과 번갈아 나오는 플러스/마이너스 부호 패턴을 사용한다.

주요 용어 및 정의

행렬식(Determinant)

정사각 행렬의 항목들로부터 계산된 단일 스칼라 \(\det A\). 3×3 행렬의 경우 여인수 전개로 구할 수 있다. 행렬이 가역인지 여부를 나타낸다: \(A^{-1}\)은 \(\det A \neq 0\)일 때, 그리고 오직 그때만 존재한다.

소행렬식(Minor)

소행렬식 \(M_{ij}\)는 \(i\)번째 행과 \(j\)번째 열을 삭제한 후 남은 더 작은 행렬의 행렬식이다. 3×3 행렬의 경우 모든 소행렬식은 2×2 행렬식이다.

여인수(Cofactor)

부호가 있는 소행렬식: \(C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\). 여인수는 행렬식과 수반행렬(adjugate) 모두의 구성 요소이다.

수반행렬(Adjugate, adjoint)

여인수 행렬의 전치, \(\operatorname{adj}(A)\)로 표기한다. 역행렬 공식은 \(A^{-1}=\tfrac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)\)이다. (선형대수에서 이 "adjoint"는 복소 행렬에서 사용되는 켤레 전치 adjoint와는 다르다.)

단위 행렬(Identity matrix)

주 대각선에는 1이, 그 외의 위치에는 0이 있는 정사각 행렬 \(I\). 곱셈 항등원으로 작용한다: \(AI=IA=A\)이고, 정의에 의해 \(A\,A^{-1}=A^{-1}A=I\)이다.

특이 행렬(Singular matrix)

행렬식이 0인 정사각 행렬. 특이 행렬은 \(\det A=0\)으로 나누는 것이 정의되지 않으므로 역행렬이 없다.

전치(Transpose)

행과 열을 바꾸어 얻은 행렬 \(A^{\mathsf T}\)이므로 \((i,j)\) 항목이 \((j,i)\) 항목이 된다. 여인수 행렬을 전치하면 수반행렬을 얻는다.

부호 / 체스판 패턴(Sign / checkerboard pattern)

소행렬식에 적용되는 \((-1)^{i+j}\) 부호의 배치로, 체스판처럼 교대로 나타난다: \(\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & +\end{pmatrix}\). 이것이 각 소행렬식을 올바른 여인수로 변환한다.

자주 묻는 질문

행렬식이 0이면 어떻게 되나요? 그 행렬은 특이행렬이며 역행렬이 존재하지 않습니다. 이 경우 계산기가 명확한 안내 메시지를 보여 줍니다.

결과 값이 왜 이렇게 큰가요? 행렬식이 0에 매우 가까우면 그 행렬은 거의 특이행렬에 해당합니다. 이때 역행렬 계산은 수치적으로 불안정해져서 원소 값이 매우 커질 수 있습니다.

단위행렬의 역행렬도 자기 자신인가요? 네, 단위행렬의 역행렬은 단위행렬 그대로입니다.