Qu'est-ce que le calculateur d'inverse de matrice 3x3 ?
Cet outil calcule l'inverse \(A^{-1}\) de n'importe quelle matrice 3x3 composée de nombres réels. L'inverse est l'unique matrice qui vérifie \(A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A = I\), où \(I\) désigne la matrice identité 3x3. Un inverse n'existe que lorsque le déterminant de A est non nul ; dans le cas contraire, la matrice est dite singulière et n'admet aucun inverse.
Comment l'utiliser
Saisissez les neuf coefficients de votre matrice, case par case (ligne après ligne). Les libellés a11..a33 désignent la ligne i et la colonne j. Entrez des nombres décimaux classiques (les fractions comme 1/3 ne sont pas interprétées). Vous pouvez éventuellement choisir le nombre de chiffres significatifs pour l'affichage du résultat. Cliquez sur « Calculer » pour afficher la matrice inverse et le déterminant.
La formule
Pour \(A = [[a_{11},a_{12},a_{13}],[a_{21},a_{22},a_{23}],[a_{31},a_{32},a_{33}]]\), le déterminant vaut $$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}).$$ L'inverse est la transposée de la matrice des cofacteurs (la comatrice transposée, ou adjointe) divisée par le déterminant : $$b_{ij} = \frac{C_{ji}}{\det A}.$$
Exemple détaillé
Prenons \(A = [[1,2,3],[0,1,4],[5,6,0]]\). $$\det A = 1(0-24) - 2(0-20) + 3(0-5) = -24 + 40 - 15 = 1.$$ L'inverse est alors $$A^{-1} = [[-24,18,5],[20,-15,-4],[-5,4,1]].$$ Vous pouvez vérifier que \(A\cdot A^{-1} = I\).
Termes et définitions clés
- Déterminant
- Un scalaire unique \(\det A\) calculé à partir des entrées d'une matrice carrée. Pour une matrice 3×3, il peut être trouvé par expansion par cofacteurs. Il vous indique si la matrice est inversible : \(A^{-1}\) existe si et seulement si \(\det A \neq 0\).
- Mineur
- Le mineur \(M_{ij}\) est le déterminant de la matrice plus petite restante après suppression de la ligne \(i\) et de la colonne \(j\). Pour une matrice 3×3, chaque mineur est un déterminant 2×2.
- Cofacteur
- Un mineur signé : \(C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\). Les cofacteurs sont les blocs de construction du déterminant et de l'adjointe.
- Adjointe (adjointe)
- La transposée de la matrice des cofacteurs, écrite \(\operatorname{adj}(A)\). La formule inverse est \(A^{-1}=\tfrac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)\). (En algèbre linéaire, cette « adjointe » est distincte de l'adjointe transposée conjuguée utilisée dans les matrices complexes.)
- Matrice identité
- La matrice carrée \(I\) avec des 1 sur la diagonale principale et des 0 ailleurs. Elle agit comme une identité multiplicative : \(AI=IA=A\), et par définition \(A\,A^{-1}=A^{-1}A=I\).
- Matrice singulière
- Une matrice carrée dont le déterminant est zéro. Une matrice singulière n'a pas d'inverse car la division par \(\det A=0\) est indéfinie.
- Transposée
- La matrice \(A^{\mathsf T}\) obtenue en permutant les lignes et les colonnes, de sorte que l'entrée \((i,j)\) devient l'entrée \((j,i)\). La transposition de la matrice des cofacteurs donne l'adjointe.
- Signe / motif en damier
- L'arrangement des signes \((-1)^{i+j}\) appliqués aux mineurs, qui alterne comme un damier : \(\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & +\end{pmatrix}\). Il transforme chaque mineur en le cofacteur correct.
FAQ
Que se passe-t-il si le déterminant est nul ? La matrice est singulière et n'admet aucun inverse ; le calculateur affiche alors un message explicite.
Pourquoi mes résultats sont-ils énormes ? Si le déterminant est très proche de zéro, la matrice est quasi singulière et son inverse devient numériquement instable, ce qui produit des coefficients de très grande amplitude.
L'inverse de la matrice identité est-il elle-même ? Oui : l'inverse de la matrice identité est la matrice identité.
