3x3 행렬식 계산기

1 / det A (역수)	-0.33333333333333
역행렬 가능 여부	Invertible
계산 방법	여인수 전개 (사뤼스 법칙)

3x3 행렬식 계산기란?

이 도구는 3x3 행렬 A의 9개 실수 성분으로부터 행렬식을 계산하고, 그 역수(1/det A)까지 함께 알려줍니다. 행렬식은 행렬이 역행렬을 가질 수 있는지를 판단하는 하나의 숫자입니다. 행렬식이 0이 아니면 역행렬이 존재하고, 행렬식이 0이면 특이행렬(역행렬이 없는 행렬)임을 뜻합니다.

사용 방법

라벨이 붙은 격자에 9개의 성분을 각각 입력하세요. a-행-열은 해당 행과 열에 위치한 원소를 의미합니다. 모든 칸에는 양수, 음수, 소수 등 어떤 실수든 넣을 수 있습니다. 계산 버튼을 누르면 det A가 주 결과로 표시되고, 그 아래에 $1/\det A$가 나타납니다. 행렬식이 0이면 역수는 '정의되지 않음'으로 표시됩니다.

공식 설명

첫 번째 행을 기준으로 한 여인수 전개(라플라스 전개)를 사용합니다:

$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$

이는 사뤼스 법칙(rule of Sarrus)과 동일합니다. 사뤼스 법칙은 왼쪽에서 오른쪽으로 향하는 세 대각선 곱을 더하고, 오른쪽에서 왼쪽으로 향하는 세 대각선 곱을 빼는 방식입니다. 그 결과는 행렬 A가 나타내는 선형변환의 부호 있는 부피 확대율과 같으며, 값이 음수라면 변환이 방향(orientation)을 뒤집는다는 뜻입니다.

3×3 행렬식을 위한 사뤼스 법칙 대각선 도식 — 사뤼스 법칙: 내려가는 대각선은 더하고, 올라가는 대각선은 뺀다.

3×3 행렬의 첫 행을 따른 여인수 전개 도식 — 첫 행을 따른 여인수 전개: 각 성분에 자신의 2×2 소행렬식을 곱한다.

예제 풀이

A = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,10]]일 때: $$\det A = 1(5\cdot 10 - 6\cdot 8) - 2(4\cdot 10 - 6\cdot 7) + 3(4\cdot 8 - 5\cdot 7) = 1(2) - 2(-2) + 3(-3) = 2 + 4 - 9 = -3$$ 역수는 $1/(-3) = -0.3333\ldots$ 입니다. det A가 0이 아니므로 이 행렬은 역행렬을 가집니다.

더 많은 계산 예제

각 예제는 첫 번째 행을 따라 여인수 전개를 사용합니다:

$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$

예제 1 — 특이 행렬 (행렬식 = 0)

여기서 세 번째 행은 처음 두 행의 합이므로 행렬은 특이 행렬입니다.

$$A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 5 & 7 & 9\end{pmatrix}$$

첫 번째 행을 따라 전개:

$1\,(5\cdot 9 - 6\cdot 7) = 1\,(45-42) = 3$
$-\,2\,(4\cdot 9 - 6\cdot 5) = -2\,(36-30) = -12$
$+\,3\,(4\cdot 7 - 5\cdot 5) = 3\,(28-25) = 9$

합산: $3 - 12 + 9 = $ 0. $\det A = 0$이므로, 행렬은 특이이고 역수 $1/\det A$는 정의되지 않음(역행렬이 존재하지 않음)입니다.

예제 2 — 음수 및 소수 항목

$$A=\begin{pmatrix}2 & -1 & 0.5\\ -3 & 4 & 1\\ 0 & 2 & -2\end{pmatrix}$$

첫 번째 행을 따라 전개:

$2\,(4\cdot(-2) - 1\cdot 2) = 2\,(-8-2) = 2\,(-10) = -20$
$-\,(-1)\,((-3)\cdot(-2) - 1\cdot 0) = +1\,(6-0) = 6$
$+\,0.5\,((-3)\cdot 2 - 4\cdot 0) = 0.5\,(-6-0) = -3$

합산: $-20 + 6 - 3 = $ -17. 역수는 $1/\det A = -1/17 \approx -0.0588$입니다.

예제 3 — 상 삼각 행렬 (행렬식 = 대각선 원소의 곱)

$$A=\begin{pmatrix}3 & 5 & -2\\ 0 & 4 & 7\\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$$

첫 번째 행을 따라 전개 (왼쪽 아래의 영이 비대각선 여인수를 소거함에 주목):

$3\,(4\cdot 2 - 7\cdot 0) = 3\,(8) = 24$
$-\,5\,(0\cdot 2 - 7\cdot 0) = -5\,(0) = 0$
$+\,(-2)\,(0\cdot 0 - 4\cdot 0) = -2\,(0) = 0$

합산: $24 + 0 + 0 = $ 24, 이는 대각선 원소의 곱 $3\cdot 4\cdot 2 = 24$와 같습니다. 모든 삼각 행렬의 행렬식은 단순히 대각선의 곱입니다.

주요 용어 설명

행렬식 ($\det A$ 또는 $|A|$): 행렬이 가역인지 여부와 부피를 어떻게 배율화하는지를 인코딩하는 정사각 행렬로부터 계산된 단일 스칼라입니다. 3×3 행렬의 경우 여인수 전개로 구합니다.
소행렬식 ($M_{ij}$): 행 $i$와 열 $j$를 삭제한 후 남은 더 작은 행렬의 행렬식입니다. 3×3 행렬의 경우 각 소행렬식은 2×2 행렬식입니다.
여인수 ($C_{ij}$): 부호가 있는 소행렬식: $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$. 체스판 부호 패턴은 $\begin{smallmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{smallmatrix}$입니다.
라플라스 / 여인수 전개: 선택된 행 또는 열의 각 항목에 그 여인수를 곱한 합으로 행렬식을 계산하는 방법: $\det A = \sum_j a_{ij}C_{ij}$. 영이 있는 행 또는 열을 선택하면 계산량이 줄어듭니다.
사루스 법칙: 3×3 행렬만을 위한 바로가기: 왼쪽에서 오른쪽으로 가는 대각선 곱 세 개를 더하고 오른쪽에서 왼쪽으로 가는 대각선 곱 세 개를 뺍니다. 여인수 전개와 동일한 결과를 제공합니다.
특이 행렬: $\det A = 0$인 행렬; 행(및 열)이 선형종속이므로 역행렬이 없습니다.
가역 (비특이) 행렬: $\det A \neq 0$인 행렬; 유일한 역행렬 $A^{-1}$을 가집니다.
수반 (수반 행렬): 여인수 행렬의 전치입니다. 역행렬 공식 $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{adj}(A)$에 나타납니다.
선형 종속: 한 행(또는 열)을 다른 행(또는 열)의 조합으로 나타낼 수 있을 때입니다. 선형 종속은 $\det A = 0$을 강제하고 행렬이 3차원 공간을 더 낮은 차원의 집합으로 매핑함을 의미합니다.