두 이항식 곱셈 계산기 (FOIL 분배법칙)

F — First 앞항 (ac)	1
O — Outer 바깥항 (ad)	3
I — Inner 안쪽항 (bc)	2
L — Last 뒤항 (bd)	6

FOIL 방법이란?

FOIL은 두 이항식을 곱할 때 쓰는 암기법으로, First(앞항끼리), Outer(바깥항끼리), Inner(안쪽항끼리), Last(뒤항끼리)의 머리글자를 딴 것입니다. 이 순서를 따르면 첫 번째 이항식의 모든 항을 두 번째 이항식의 모든 항과 빠짐없이 곱하게 됩니다. 이 계산기는 $(a + b)$와 $(c + d)$ 두 이항식에서 $a$, $b$, $c$, $d$ 네 숫자를 받아 각각의 부분 곱과 완전히 전개된 결과까지 한 번에 보여 줍니다.

두 이항식의 항을 연결하는 네 개의 곡선 화살표를 보여주는 다이어그램으로, 처음·바깥·안쪽·마지막으로 표시됨 — FOIL 방법: $(a+b)(c+d)$의 처음, 바깥, 안쪽, 마지막 항 쌍.

사용 방법

각 이항식의 두 항을 입력하세요. 예를 들어 $(2x + 3)(x - 4)$를 전개하려면 $a = 2$, $b = 3$, $c = 1$, $d = -4$로 설정합니다. 이 계산기는 $a$와 $c$를 $x$의 계수로 보기 때문에 결과를 $\text{a}\,\text{c}\cdot x^{2} + (\text{a}\,\text{d} + \text{b}\,\text{c})\cdot x + \text{b}\,\text{d}$ 형태의 이차식으로 표시합니다. 순수한 숫자 곱셈이라면 F/O/I/L 네 곱을 읽고 더하기만 하면 됩니다.

공식 풀이

분배법칙에 따라 $$\left(\text{a}x + \text{b}\right)\left(\text{c}x + \text{d}\right) = \text{a}\,\text{c}\,x^{2} + \left(\text{a}\,\text{d} + \text{b}\,\text{c}\right)x + \text{b}\,\text{d}$$ 가 됩니다. 각 문자 짝은 FOIL과 정확히 대응합니다. $\text{First} = \text{a}\text{c}$, $\text{Outer} = \text{a}\text{d}$, $\text{Inner} = \text{b}\text{c}$, $\text{Last} = \text{b}\text{d}$ 이며, Outer와 Inner의 곱은 보통 하나로 합쳐지는 '가운데 항'에 해당합니다.

a, b와 c, d로부터 곱 ac, ad, bc, bd를 보여주는 2×2 박스 방법 격자 — 박스(넓이) 방법도 동일한 네 개의 곱을 준다: $\text{ac}$, $\text{ad}$, $\text{bc}$, $\text{bd}$.

예제 풀이

$(2x + 3)(x + 4)$를 전개해 봅시다. $F = 2\cdot 1 = 2$, $O = 2\cdot 4 = 8$, $I = 3\cdot 1 = 3$, $L = 3\cdot 4 = 12$ 입니다. 가운데 항을 합치면 $8 + 3 = 11$ 이 되고, 최종 결과는 $$2x^{2} + 11x + 12$$ 입니다.

더 많은 풀이 예제

각 예제는 FOIL 패턴 $(ax+b)(cx+d)=ac\,x^2+(ad+bc)x+bd$을 사용합니다. 부호가 모든 곱셈을 통해 어떻게 전달되는지 살펴보세요.

예제 1: 음수 항 — $(x-5)(x+2)$

여기서 $a=1,\ b=-5,\ c=1,\ d=2$입니다.

첫 번째: $x\cdot x = x^2$
외측: $x\cdot 2 = 2x$
내측: $-5\cdot x = -5x$
마지막: $-5\cdot 2 = -10$

중간의 같은 항 $2x-5x=-3x$를 결합합니다:

$$ (x-5)(x+2) = x^2 - 3x - 10 $$

삼항식 $x^2-3x-10$이 인수분해 계산기를 사용하여 이 이항식으로 다시 인수분해되는지 확인할 수 있습니다.

예제 2: 제곱의 차 — $(x+3)(x-3)$

여기서 $a=1,\ b=3,\ c=1,\ d=-3$입니다.

첫 번째: $x\cdot x = x^2$
외측: $x\cdot(-3) = -3x$
내측: $3\cdot x = 3x$
마지막: $3\cdot(-3) = -9$

외측과 내측 항이 소거됩니다: $-3x+3x=0$, 남은 것은

$$ (x+3)(x-3) = x^2 - 9 $$

이것은 제곱의 차 법칙 $(x+n)(x-n)=x^2-n^2$을 보여줍니다.

예제 3: 완전제곱 — $(2x+1)^2$

$(2x+1)(2x+1)$로 다시 쓰면, $a=2,\ b=1,\ c=2,\ d=1$입니다.

첫 번째: $2x\cdot 2x = 4x^2$
외측: $2x\cdot 1 = 2x$
내측: $1\cdot 2x = 2x$
마지막: $1\cdot 1 = 1$

$2x+2x=4x$를 결합합니다:

$$ (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 $$

이것은 완전제곱 법칙 $(mx+n)^2 = m^2x^2 + 2mnx + n^2$과 일치합니다.

단계별 FOIL 방법

FOIL은 두 이항식 $(ax+b)(cx+d)$에 분배법칙을 적용하는 체계적인 방법입니다. 문자는 첫 번째, 외측, 내측, 마지막을 나타내며, 이들은 곱하는 네 쌍의 항입니다.

첫 번째 항을 곱합니다. 각 이항식의 첫 번째 항을 곱합니다: $ax\cdot cx = ac\,x^2$. 이것이 제곱항을 줍니다.
외측 항을 곱합니다. 식의 바깥쪽에 있는 두 항을 곱합니다: $ax\cdot d = ad\,x$.
내측 항을 곱합니다. 안쪽에 있는 두 항을 곱합니다: $b\cdot cx = bc\,x$.
마지막 항을 곱합니다. 각 이항식의 마지막 항을 곱합니다: $b\cdot d = bd$. 이것이 상수항입니다.
중간의 같은 항을 결합합니다. 외측과 내측 곱은 모두 $x$를 포함하므로, 더합니다: $ad\,x + bc\,x = (ad+bc)x$. 여기서 부호에 주의해야 합니다.
결과를 $ax^2+bx+c$ 형태로 씁니다. 세 부분을 표준 순서로 조립합니다: $$ ac\,x^2 + (ad+bc)x + bd. $$

팁: 두 이항식이 동일한 경우(완전제곱) 또는 $(x+n)(x-n)$과 같은 켤레인 경우, 중간 항은 두 배가 되거나 소거됩니다. 이는 항을 올바르게 결합했는지 빠르게 확인할 수 있습니다.

주요 용어

이항식: 더하기 또는 빼기 기호로 연결된 정확히 두 항을 가진 다항식입니다. 예: $x+3$ 또는 $2x-5$.
삼항식: 정확히 세 항을 가진 다항식입니다. 예: $x^2-3x-10$. 두 이항식을 곱하면 보통 삼항식이 나옵니다.
계수: 항에서 변수를 곱하는 수 인수입니다. $2x$에서 계수는 $2$이고, $x^2$와 같은 항은 이해된 계수가 $1$입니다.
항: 단일 수, 변수, 또는 $+$ 또는 $-$로 다른 수와 분리된 수와 변수의 곱입니다. $x^2-3x-10$에서 항은 $x^2$, $-3x$, $-10$입니다.
FOIL: 두 이항식을 곱할 때 형성되는 네 곱에 대한 기억법입니다. 첫 번째, 외측, 내측, 마지막을 나타냅니다. 분배법칙의 특수한 경우입니다.
같은 항: 같은 변수가 같은 거듭제곱으로 올려진 항이므로 더하거나 뺄 수 있습니다. 외측과 내측 곱인 $ad\,x$와 $bc\,x$는 같은 항이며 $(ad+bc)x$로 결합됩니다.
분배법칙: 규칙 $p(q+r)=pq+pr$입니다. FOIL은 이것을 두 번 적용하여 첫 번째 이항식의 모든 항이 두 번째의 모든 항과 곱해집니다.