두 이항식 곱셈 계산기 (FOIL)

계산 입력

a (첫 번째 이항식의 첫째 항)

b (첫 번째 이항식의 둘째 항)

c (두 번째 이항식의 첫째 항)

d (두 번째 이항식의 둘째 항)

(a + b)(c + d)를 계산합니다. b와 d는 상수항으로, a와 c는 x의 계수로 처리합니다.

결과

전개식 (FOIL)

1x² + 5x + 6

a, c를 x의 계수로 가정

F — First 앞항 (ac)	1
O — Outer 바깥항 (ad)	3
I — Inner 안쪽항 (bc)	2
L — Last 뒤항 (bd)	6

FOIL 방법이란?

FOIL은 두 이항식을 곱할 때 쓰는 암기법으로, First(앞항끼리), Outer(바깥항끼리), Inner(안쪽항끼리), Last(뒤항끼리)의 머리글자를 딴 것입니다. 이 순서를 따르면 첫 번째 이항식의 모든 항을 두 번째 이항식의 모든 항과 빠짐없이 곱하게 됩니다. 이 계산기는 \((a + b)\)와 \((c + d)\) 두 이항식에서 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) 네 숫자를 받아 각각의 부분 곱과 완전히 전개된 결과까지 한 번에 보여 줍니다.

FOIL 방법: \((a+b)(c+d)\)의 처음, 바깥, 안쪽, 마지막 항 쌍.

사용 방법

각 이항식의 두 항을 입력하세요. 예를 들어 \((2x + 3)(x - 4)\)를 전개하려면 \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 1\), \(d = -4\)로 설정합니다. 이 계산기는 \(a\)와 \(c\)를 \(x\)의 계수로 보기 때문에 결과를 \(\text{a}\,\text{c}\cdot x^{2} + (\text{a}\,\text{d} + \text{b}\,\text{c})\cdot x + \text{b}\,\text{d}\) 형태의 이차식으로 표시합니다. 순수한 숫자 곱셈이라면 F/O/I/L 네 곱을 읽고 더하기만 하면 됩니다.

공식 풀이

분배법칙에 따라 $$\left(\text{a}x + \text{b}\right)\left(\text{c}x + \text{d}\right) = \text{a}\,\text{c}\,x^{2} + \left(\text{a}\,\text{d} + \text{b}\,\text{c}\right)x + \text{b}\,\text{d}$$ 가 됩니다. 각 문자 짝은 FOIL과 정확히 대응합니다. \(\text{First} = \text{a}\text{c}\), \(\text{Outer} = \text{a}\text{d}\), \(\text{Inner} = \text{b}\text{c}\), \(\text{Last} = \text{b}\text{d}\) 이며, Outer와 Inner의 곱은 보통 하나로 합쳐지는 '가운데 항'에 해당합니다.

박스(넓이) 방법도 동일한 네 개의 곱을 준다: \(\text{ac}\), \(\text{ad}\), \(\text{bc}\), \(\text{bd}\).

예제 풀이

\((2x + 3)(x + 4)\)를 전개해 봅시다. \(F = 2\cdot 1 = 2\), \(O = 2\cdot 4 = 8\), \(I = 3\cdot 1 = 3\), \(L = 3\cdot 4 = 12\) 입니다. 가운데 항을 합치면 \(8 + 3 = 11\) 이 되고, 최종 결과는 $$2x^{2} + 11x + 12$$ 입니다.

더 많은 풀이 예제

각 예제는 FOIL 패턴 \((ax+b)(cx+d)=ac\,x^2+(ad+bc)x+bd\)을 사용합니다. 부호가 모든 곱셈을 통해 어떻게 전달되는지 살펴보세요.

예제 1: 음수 항 — \((x-5)(x+2)\)

여기서 \(a=1,\ b=-5,\ c=1,\ d=2\)입니다.

• 첫 번째: \(x\cdot x = x^2\)
• 외측: \(x\cdot 2 = 2x\)
• 내측: \(-5\cdot x = -5x\)
• 마지막: \(-5\cdot 2 = -10\)

중간의 같은 항 \(2x-5x=-3x\)를 결합합니다:

$$ (x-5)(x+2) = x^2 - 3x - 10 $$

삼항식 \(x^2-3x-10\)이 인수분해 계산기를 사용하여 이 이항식으로 다시 인수분해되는지 확인할 수 있습니다.

예제 2: 제곱의 차 — \((x+3)(x-3)\)

여기서 \(a=1,\ b=3,\ c=1,\ d=-3\)입니다.

• 첫 번째: \(x\cdot x = x^2\)
• 외측: \(x\cdot(-3) = -3x\)
• 내측: \(3\cdot x = 3x\)
• 마지막: \(3\cdot(-3) = -9\)

외측과 내측 항이 소거됩니다: \(-3x+3x=0\), 남은 것은

$$ (x+3)(x-3) = x^2 - 9 $$

이것은 제곱의 차 법칙 \((x+n)(x-n)=x^2-n^2\)을 보여줍니다.

예제 3: 완전제곱 — \((2x+1)^2\)

\((2x+1)(2x+1)\)로 다시 쓰면, \(a=2,\ b=1,\ c=2,\ d=1\)입니다.

• 첫 번째: \(2x\cdot 2x = 4x^2\)
• 외측: \(2x\cdot 1 = 2x\)
• 내측: \(1\cdot 2x = 2x\)
• 마지막: \(1\cdot 1 = 1\)

\(2x+2x=4x\)를 결합합니다:

$$ (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 $$

이것은 완전제곱 법칙 \((mx+n)^2 = m^2x^2 + 2mnx + n^2\)과 일치합니다.

단계별 FOIL 방법

FOIL은 두 이항식 \((ax+b)(cx+d)\)에 분배법칙을 적용하는 체계적인 방법입니다. 문자는 첫 번째, 외측, 내측, 마지막을 나타내며, 이들은 곱하는 네 쌍의 항입니다.

1. 첫 번째 항을 곱합니다. 각 이항식의 첫 번째 항을 곱합니다: \(ax\cdot cx = ac\,x^2\). 이것이 제곱항을 줍니다.
2. 외측 항을 곱합니다. 식의 바깥쪽에 있는 두 항을 곱합니다: \(ax\cdot d = ad\,x\).
3. 내측 항을 곱합니다. 안쪽에 있는 두 항을 곱합니다: \(b\cdot cx = bc\,x\).
4. 마지막 항을 곱합니다. 각 이항식의 마지막 항을 곱합니다: \(b\cdot d = bd\). 이것이 상수항입니다.
5. 중간의 같은 항을 결합합니다. 외측과 내측 곱은 모두 \(x\)를 포함하므로, 더합니다: \(ad\,x + bc\,x = (ad+bc)x\). 여기서 부호에 주의해야 합니다.
6. 결과를 \(ax^2+bx+c\) 형태로 씁니다. 세 부분을 표준 순서로 조립합니다: $$ ac\,x^2 + (ad+bc)x + bd. $$

팁: 두 이항식이 동일한 경우(완전제곱) 또는 \((x+n)(x-n)\)과 같은 켤레인 경우, 중간 항은 두 배가 되거나 소거됩니다. 이는 항을 올바르게 결합했는지 빠르게 확인할 수 있습니다.

주요 용어

이항식

더하기 또는 빼기 기호로 연결된 정확히 두 항을 가진 다항식입니다. 예: \(x+3\) 또는 \(2x-5\).

삼항식

정확히 세 항을 가진 다항식입니다. 예: \(x^2-3x-10\). 두 이항식을 곱하면 보통 삼항식이 나옵니다.

계수

항에서 변수를 곱하는 수 인수입니다. \(2x\)에서 계수는 \(2\)이고, \(x^2\)와 같은 항은 이해된 계수가 \(1\)입니다.

항

단일 수, 변수, 또는 \(+\) 또는 \(-\)로 다른 수와 분리된 수와 변수의 곱입니다. \(x^2-3x-10\)에서 항은 \(x^2\), \(-3x\), \(-10\)입니다.

FOIL

두 이항식을 곱할 때 형성되는 네 곱에 대한 기억법입니다. 첫 번째, 외측, 내측, 마지막을 나타냅니다. 분배법칙의 특수한 경우입니다.

같은 항

같은 변수가 같은 거듭제곱으로 올려진 항이므로 더하거나 뺄 수 있습니다. 외측과 내측 곱인 \(ad\,x\)와 \(bc\,x\)는 같은 항이며 \((ad+bc)x\)로 결합됩니다.

분배법칙

규칙 \(p(q+r)=pq+pr\)입니다. FOIL은 이것을 두 번 적용하여 첫 번째 이항식의 모든 항이 두 번째의 모든 항과 곱해집니다.

자주 묻는 질문

음수도 입력할 수 있나요? 네, 마이너스 부호를 붙여 입력하면 됩니다. 예를 들어 \((x - 4)\)는 \(d = -4\)로 넣습니다.

그냥 숫자 곱셈에도 쓸 수 있나요? 물론입니다. 계수를 1로 두면(\(a = 1\), \(c = 1\)) F/O/I/L 표에 네 곱이 나오고, 그 합이 곧 답입니다.

x가 아예 없으면 어떻게 하나요? 그럴 때는 \(a = 1\), \(c = 1\)로 설정하세요. \(x^{2}\) 항의 계수가 1이 되며, 합쳐진 항에서 전체 결과를 읽을 수 있습니다.