FOIL Yöntemi Nedir?
FOIL, iki terimliyi (binom) çarparken kullanılan İngilizce bir kısaltmadır: First (İlk), Outer (Dış), Inner (İç), Last (Son). Bu sıra, birinci terimlinin her terimini ikinci terimlinin her terimiyle çarpmanızı garantiler; böylece hiçbir çarpım atlanmaz. Bu hesaplama aracı, \((a + b)\) ve \((c + d)\) terimlilerindeki \(a\), \(b\), \(c\) ve \(d\) sayılarını alır; her bir kısmi çarpımı ve tam açılmış sonucu gösterir.
Nasıl Kullanılır?
Her terimlinin iki terimini girin. Örneğin \((2x + 3)(x - 4)\) ifadesini açmak istiyorsanız \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 1\), \(d = -4\) değerlerini girin. Hesaplama aracı \(a\) ile \(c\)'yi \(x\)'in katsayıları olarak kabul eder; bu yüzden sonuç bir ikinci derece ifade olarak verilir: $$\text{a}\,\text{c}\cdot x^{2} + (\text{a}\,\text{d} + \text{b}\,\text{c})\cdot x + \text{b}\,\text{d}$$ Yalnızca sayısal bir çarpım yapıyorsanız, dört F/O/I/L çarpımını okuyup toplamanız yeterlidir.
Formülün Açıklaması
Dağılma özelliği bize şunu verir: $$(\text{a} + \text{b})(\text{c} + \text{d}) = \text{a}\cdot\text{c} + \text{a}\cdot\text{d} + \text{b}\cdot\text{c} + \text{b}\cdot\text{d}$$ Her harf eşleşmesi FOIL'e karşılık gelir: İlk (First) = \(ac\), Dış (Outer) = \(ad\), İç (Inner) = \(bc\), Son (Last) = \(bd\). Dış ve İç çarpımlar genellikle birleştirilen "orta" terimleri oluşturur.
Çözümlü Örnek
\((2x + 3)(x + 4)\) ifadesini açalım: \(F = 2\cdot 1 = 2\), \(O = 2\cdot 4 = 8\), \(I = 3\cdot 1 = 3\), \(L = 3\cdot 4 = 12\). Orta terimleri birleştirelim: \(8 + 3 = 11\). Sonuç $$2x^{2} + 11x + 12$$ olur.
Sık Sorulan Sorular
Negatif sayı kullanabilir miyim? Evet — eksi işaretiyle girin; örneğin \((x - 4)\) için \(d = -4\).
Düz sayılarla çalışıyor mu? Kesinlikle. Katsayıları 1 yapın (\(a = 1\), \(c = 1\)); F/O/I/L tablosu dört çarpımı verir, bunların toplamı cevabınızdır.
Hiç x yoksa ne yapmalıyım? O zaman \(a = 1\) ve \(c = 1\) girin; \(x^{2}\) terimi 1 olur ve toplamı birleştirilmiş terimlerden okuyabilirsiniz.
Daha Fazla Çalışılmış Örnek
Her örnek FOIL desenini \((ax+b)(cx+d)=ac\,x^2+(ad+bc)x+bd\) kullanır. İşaretlerin her çarpımda nasıl taşındığını gözlemleyin.
Örnek 1: Negatif bir terim — \((x-5)(x+2)\)
Burada \(a=1,\ b=-5,\ c=1,\ d=2\).
- İlk: \(x\cdot x = x^2\)
- Dış: \(x\cdot 2 = 2x\)
- İç: \(-5\cdot x = -5x\)
- Son: \(-5\cdot 2 = -10\)
Ortadaki benzer terimleri \(2x-5x=-3x\) olacak şekilde birleştirin:
$$ (x-5)(x+2) = x^2 - 3x - 10 $$
Üç terimli \(x^2-3x-10\) ifadesinin bu iki terimli ifadelere geri çarpanlara ayrılıp ayrılamayacağını çarpanlara ayırma hesaplayıcısı ile doğrulayabilirsiniz.
Örnek 2: Karelerin farkı — \((x+3)(x-3)\)
Burada \(a=1,\ b=3,\ c=1,\ d=-3\).
- İlk: \(x\cdot x = x^2\)
- Dış: \(x\cdot(-3) = -3x\)
- İç: \(3\cdot x = 3x\)
- Son: \(3\cdot(-3) = -9\)
Dış ve İç terimler iptal olur: \(-3x+3x=0\), bu nedenle
$$ (x+3)(x-3) = x^2 - 9 $$
Bu, karelerin farkı kuralını \((x+n)(x-n)=x^2-n^2\) gösterir.
Örnek 3: Tam kare — \((2x+1)^2\)
\((2x+1)(2x+1)\) olarak yazın, böylece \(a=2,\ b=1,\ c=2,\ d=1\).
- İlk: \(2x\cdot 2x = 4x^2\)
- Dış: \(2x\cdot 1 = 2x\)
- İç: \(1\cdot 2x = 2x\)
- Son: \(1\cdot 1 = 1\)
\(2x+2x=4x\) olacak şekilde birleştirin:
$$ (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 $$
Bu, tam kare kuralı \((mx+n)^2 = m^2x^2 + 2mnx + n^2\) ile eşleşir.
FOIL Adım Adım Nasıl Yapılır
FOIL, dağılma özelliğini iki iki terimli \((ax+b)(cx+d)\) ifadesine uygulamanın sıralı bir yoludur. Harfler İlk, Dış, İç, Son anlamına gelir — çarptığınız dört terim çifti.
- İlk terimleri çarpın. Her iki terimli ifadenin ilk terimini çarpın: \(ax\cdot cx = ac\,x^2\). Bu, kare terimini verir.
- Dış terimleri çarpın. İfadenin dışındaki iki terimi çarpın: \(ax\cdot d = ad\,x\).
- İç terimleri çarpın. İçerideki iki terimi çarpın: \(b\cdot cx = bc\,x\).
- Son terimleri çarpın. Her iki terimli ifadenin son terimini çarpın: \(b\cdot d = bd\). Bu, sabit terimdir.
- Benzer ortadaki terimleri birleştirin. Dış ve İç çarpımlar her ikisi de \(x\) içerdiğinden, bunları ekleyin: \(ad\,x + bc\,x = (ad+bc)x\). Burada işaretlere yakından dikkat edin.
- Sonucu \(ax^2+bx+c\) olarak yazın. Üç parçayı standart sırada bir araya getirin: $$ ac\,x^2 + (ad+bc)x + bd. $$
İpucu: İki iki terimli ifade özdeş (tam kare) veya \((x+n)(x-n)\) gibi eşleniklerse, ortadaki terimler ya iki katına çıkar ya da iptal olur — bunları doğru şekilde birleştirdiğinizin hızlı bir kontrolü.
Temel Terimler
- İki Terimli
- Bir artı veya eksi işareti ile birleştirilen tam olarak iki terime sahip bir çokterimli, örneğin \(x+3\) veya \(2x-5\).
- Üç Terimli
- Tam olarak üç terime sahip bir çokterimli, örneğin \(x^2-3x-10\). İki iki terimli ifadenin çarpımı genellikle bir üç terimli ifade üretir.
- Katsayı
- Bir terimdeki bir değişkeni çarpan sayısal faktör. \(2x\) içinde katsayı \(2\)'dir; \(x^2\) gibi bir terim anlaşılan \(1\) katsayısına sahiptir.
- Terim
- Tek bir sayı, değişken veya sayılar ve değişkenlerin çarpımı, \(+\) veya \(-\) ile diğerlerinden ayrılmış. \(x^2-3x-10\) içinde terimler \(x^2\), \(-3x\) ve \(-10\)'dur.
- FOIL
- Bir hatırlama cihazı — İlk, Dış, İç, Son — iki iki terimli ifadeyi çarparken oluşturulan dört çarpım için. Dağılma özelliğinin özel bir durumudur.
- Benzer Terimler
- Aynı değişkenin aynı kuvvete yükseltilmiş halde olduğu terimler, bu nedenle eklenebilir veya çıkarılabilirler. Dış ve İç çarpımlar \(ad\,x\) ve \(bc\,x\) benzer terimlerdir ve \((ad+bc)x\) içine birleşirler.
- Dağılma Özelliği
- \(p(q+r)=pq+pr\) kuralı. FOIL bunu iki kez uygular, böylece ilk iki terimli ifadenin her terimi ikinci iki terimli ifadenin her terimiyle çarpılır.
