Birinci Tür Stirling Sayısı Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

n

k

Sonuç

Birinci Tür Stirling Sayısı s(n,k)

-50

işaretli değer

n	5
k	2

Birinci Tür Stirling Sayısı Nedir?

\(s(n,k)\) ile gösterilen işaretli birinci tür Stirling sayıları, \(x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)\) şeklindeki düşen faktöriyeli x'in sıradan kuvvetleri cinsinden açtığınızda karşınıza çıkan katsayılardır. Bu sayıların mutlak değerleri, yani \(c(n,k) = |s(n,k)|\), n elemanlı bir kümenin tam olarak k tane ayrık çevrime ayrışan permütasyonlarının sayısını verir. İkisi arasındaki bağlantı şu işaret kuralıyla kurulur: \(s(n,k) = (-1)^{n-k} c(n,k)\). Bu hesaplayıcı, düşen faktöriyel katsayı geleneğine uygun olarak işaretli değeri döndürür.

Nasıl Kullanılır?

Negatif olmayan iki tam sayı girin: n (boyut parametresi) ve k (çevrim sayısı; aynı zamanda kuvvet indisi). Hesapla düğmesine basın; araç size \(s(n,k)\) sonucunu versin. Eğer k, n'den büyükse sonuç 0 olur; \(s(n,n)\) her zaman 1'dir; ve tanım gereği \(s(0,0) = 1\)'dir.

Formülün Açıklaması

$$s(n+1,k) = s(n,k-1) - n\, s(n,k)$$ yineleme bağıntısını kullanarak küçük bir dinamik programlama tablosu oluştururuz. Başlangıç noktamız \(s(0,0)=1\); ayrıca \(n>0\) için \(s(n,0)=0\) ve \(k>0\) için \(s(0,k)=0\)'dır. Her satır bir önceki satırdan hesaplandığından büyük bir referans tablosuna ihtiyaç kalmaz. Bağıntıdaki negatif terim, işaretlerin dönüşümlü olarak değişmesini sağlayan unsurdur.

Reklam

Yineleme, her Stirling sayısını önceki satırdaki iki değerden oluşturur.

Çözümlü Örnek

\(s(5,2)\) değerini hesaplayalım. 5. satırın işaretsiz çevrim sayıları şöyledir: \(c(5,1)=24\), \(c(5,2)=50\), \(c(5,3)=35\), \(c(5,4)=10\), \(c(5,5)=1\). İşaret \((-1)^{5-2} = -1\) olduğundan \(s(5,2) = -50\) bulunur. Doğrulayalım: $$x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = x^5 - 10x^4 + 35x^3 - 50x^2 + 24x$$ ve gerçekten de \(x^2\)'nin katsayısı \(-50\)'dir.

Bir üçgen biçiminde dizilen her öğe, üstündeki iki hücreden hesaplanır.

Sıkça Sorulan Sorular

Sonuç neden negatif çıkabiliyor? Çünkü bu, sayının işaretli versiyonudur; düşen faktöriyelde \(x^k\) teriminin katsayısı \((-1)^{n-k}\) kuralına göre dönüşümlü olarak işaret değiştirir.

İşaretsiz çevrim sayısını nasıl elde ederim? Mutlak değeri alın: \(c(n,k) = |s(n,k)|\).

Bir satırdaki işaretsiz değerlerin toplamı kaçtır? Tüm k değerleri için \(c(n,k)\) toplamı \(n!\) (n faktöriyel) sonucunu verir.