Birinci Tür Kelvin Fonksiyonları Hesaplama Aracı (ber, bei)

bei_v(x)	0,249566
ber'_v(x)	-0,062446
bei'_v(x)	0,497397

Birinci tür Kelvin fonksiyonları nedir?

Birinci tür Kelvin fonksiyonları, ber_v(x) ve bei_v(x) olarak gösterilir ve faz döndürülmüş bir argümanda hesaplanan J_v Bessel fonksiyonunun gerçel ve sanal kısımlarıdır: $\mathrm{ber}_v(x) + i\cdot\mathrm{bei}_v(x) = J_v(x\cdot e^{i3\pi/4})$. Bu fonksiyonlar silindirik simetrili ve salınımlı alanların yer aldığı problemlerde ortaya çıkar; klasik olarak elektrik iletkenlerindeki deri etkisinin (skin effect) analizinde, ayrıca ısı iletimi ve elastisite problemlerinde karşımıza çıkarlar. Bu araç, herhangi bir gerçel v mertebesi ve gerçel x argümanı için ber_v(x), bei_v(x) değerlerini ve birinci türevleri ber'_v(x) ile bei'_v(x) değerlerini hesaplar.

x'e göre çizilmiş, ber ve bei etiketli, genliği artan iki salınımlı eğri — Kelvin fonksiyonları ber_0(x) ve bei_0(x), x arttıkça genliği büyüyerek salınır.

Hesaplama aracı nasıl kullanılır?

Mertebe v değerini (herhangi bir gerçel sayı; en yaygını v = 0'dır) ve argüman x değerini (gerçel bir sayı) girin. Ardından hesapla düğmesine basın. Üstteki sonuç kutusu ber_v(x) değerini gösterir; tablo ise bei_v(x) ile her iki türevi listeler. Seri, x değeri yaklaşık 20'ye kadar hızla yakınsar; çok büyük x değerlerinde terimler arası sadeleşme doğruluğu azaltır ve bu durumda asimptotik bir açılım tercih edilmelidir.

Formülün açıklaması

Fonksiyonlar, yukarıda verilen yakınsak karmaşık kuvvet serisinden hesaplanır:

$$\mathrm{ber}_{\nu}\!\left(x\right) + i\,\mathrm{bei}_{\nu}\!\left(x\right) = \left(\frac{x}{2}\right)^{\nu} e^{\,i\,3\nu\pi/4} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(\dfrac{i\,x^{2}}{4}\right)^{k}}{k!\,\Gamma\!\left(\nu+k+1\right)}$$

burada Γ gama fonksiyonudur (bu araçta Lanczos yaklaşımıyla hesaplanır). Terimler, $\text{term}_k = \text{term}_{k-1}\cdot(i x^2/4) / [k(v+k)]$ yineleme bağıntısıyla biriktirilir ve gerçel ile sanal kısımlar için iki ayrı gerçel toplayıcı kullanılır. Türevler, kesin $\mathrm{ber}'_v = (\mathrm{ber}_{v+1}+\mathrm{bei}_{v+1})/\sqrt{2} + (v/x)\mathrm{ber}_v$ ve $\mathrm{bei}'_v = (\mathrm{bei}_{v+1}-\mathrm{ber}_{v+1})/\sqrt{2} + (v/x)\mathrm{bei}_v$ bağıntılarıyla hesaplanır; dolayısıyla bir sonraki mertebenin fonksiyonları da aynı tanım kullanılarak değerlendirilir.

Reklam

Başlangıç noktasından 3π/4 açısıyla çıkan bir ışını gösteren karmaşık düzlem — Kelvin fonksiyonları, karmaşık düzlemde x·e^{i3π/4} ışını boyunca hesaplanan Bessel fonksiyonu J_v'den doğar.

Örnek çözüm (v = 0, x = 1)

v = 0 için seriler şu hâle gelir: $\mathrm{ber}_0(x) = \sum (-1)^k (x/2)^{4k}/[(2k)!]^2$ ve $\mathrm{bei}_0(x) = \sum (-1)^k (x/2)^{4k+2}/[(2k+1)!]^2$. x = 1 için bu, $\mathrm{ber}_0(1) \approx 0{,}984382$ ve $\mathrm{bei}_0(1) \approx 0{,}249566$ sonuçlarını verir; bu değerler standart tablolarla (Abramowitz & Stegun 9.9) uyumludur.

Sıkça sorulan sorular

x'in geçerli aralığı nedir? Seri uygulaması yaklaşık $0 \le x \le 20$ aralığında güvenilirdir. Bu aralığın ötesinde, kayan noktalı sayılardaki sadeleşme doğruluğu bozar.

x = 0 olduğunda ne olur? v = 0 için $\mathrm{ber}_0(0) = 1$ ve $\mathrm{bei}_0(0) = 0$ olur; her iki türev de 0'dır. v > 0 için fonksiyonlar 0'a yaklaşır; v < 0 için ıraksayabilirler.

Tam sayı olmayan mertebe kullanabilir miyim? Evet. v+1 negatif bir tam sayı olmadığı (yani bir gama fonksiyonu kutbuna denk gelmediği) sürece her gerçel v desteklenir.