第一类开尔文函数计算器（ber、bei）

bei_v(x)	0.249566
ber'_v(x)	-0.062446
bei'_v(x)	0.497397

什么是第一类开尔文函数？

第一类开尔文函数记作 ber_v(x) 和 bei_v(x)，它们是贝塞尔函数 J_v 在经过相位旋转的自变量处取值后的实部与虚部：$\mathrm{ber}_v(x) + i\,\mathrm{bei}_v(x) = J_v\!\left(x\cdot e^{i3\pi/4}\right)$。这类函数常出现在具有柱对称性和振荡场的问题中，最经典的应用是分析电导体中的趋肤效应（skin effect），此外也见于热传导和弹性力学问题。本计算器可针对任意实数阶 v 和实数自变量 x，返回 ber_v(x)、bei_v(x) 及其一阶导数 ber'_v(x) 和 bei'_v(x)。

两条标记为 ber 和 bei 的振荡曲线，对 x 作图，振幅逐渐增大 — 开尔文函数 ber_0(x) 和 bei_0(x) 随 x 增大而振荡，振幅不断增大。

如何使用本计算器

输入阶数 v（任意实数，其中 v = 0 最为常见）和自变量 x（实数），然后点击计算。结果框会显示 ber_v(x)，表格中则列出 bei_v(x) 及两个导数值。当 x 不超过约 20 时，级数收敛很快；当 x 非常大时，数值相减会引起精度损失，此时更适合采用渐近展开。

公式详解

这些函数通过上文给出的收敛复幂级数计算：

$$\mathrm{ber}_{\nu}\!\left(x\right) + i\,\mathrm{bei}_{\nu}\!\left(x\right) = \left(\frac{x}{2}\right)^{\nu} e^{\,i\,3\nu\pi/4} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(\dfrac{i\,x^{2}}{4}\right)^{k}}{k!\,\Gamma\!\left(\nu+k+1\right)}$$

其中 Γ 表示伽马函数（本计算器使用 Lanczos 近似求值）。各项采用递推关系 $\text{term}_k = \text{term}_{k-1}\cdot(i x^2/4) / [k(\nu+k)]$ 逐项累加，并用两个实数累加器分别记录实部和虚部。导数则利用精确关系式 $\mathrm{ber}'_v = (\mathrm{ber}_{v+1}+\mathrm{bei}_{v+1})/\sqrt{2} + (v/x)\mathrm{ber}_v$ 和 $\mathrm{bei}'_v = (\mathrm{bei}_{v+1}-\mathrm{ber}_{v+1})/\sqrt{2} + (v/x)\mathrm{bei}_v$，因此更高一阶的函数同样按上述定义求值。

复平面，显示从原点出发、角度为 3π/4 的射线 — 开尔文函数源自沿复平面中射线 x·e^{i3π/4} 求值的贝塞尔函数 J_v。

计算实例（v = 0，x = 1）

当 v = 0 时，级数可简化为 $\mathrm{ber}_0(x) = \sum (-1)^k (x/2)^{4k}/[(2k)!]^2$ 和 $\mathrm{bei}_0(x) = \sum (-1)^k (x/2)^{4k+2}/[(2k+1)!]^2$。在 $x = 1$ 处可得 $\mathrm{ber}_0(1) \approx 0.984382$，$\mathrm{bei}_0(1) \approx 0.249566$，与标准函数表一致（参见 Abramowitz & Stegun 9.9）。