第一類克耳文函數計算器（ber、bei）

bei_v(x)	0.249566
ber'_v(x)	-0.062446
bei'_v(x)	0.497397

什麼是第一類克耳文函數？

第一類克耳文函數記為 ber_v(x) 與 bei_v(x)，分別是貝索函數 J_v 在相位旋轉引數下的實部與虛部：$\mathrm{ber}_v(x) + i\cdot\mathrm{bei}_v(x) = J_v(x\cdot e^{i3\pi/4})$。它們常出現在具有圓柱對稱性與振盪場的問題中，最典型的就是電導體的趨膚效應（skin effect）分析，以及熱傳導與彈性力學問題。本計算器可針對任意實數階 $v$ 與實數引數 $x$，傳回 $\mathrm{ber}_v(x)$、$\mathrm{bei}_v(x)$ 及其一階導數 $\mathrm{ber}'_v(x)$ 與 $\mathrm{bei}'_v(x)$。

兩條標記為 ber 與 bei 的振盪曲線，對 x 作圖，振幅逐漸增大 — 開爾文函數 ber_0(x) 與 bei_0(x) 隨 x 增大而振盪，振幅不斷增大。

如何使用本計算器

輸入階 $v$（任意實數，其中 $v = 0$ 最為常見）與引數 $x$（實數），然後按下計算。主結果框會顯示 $\mathrm{ber}_v(x)$，表格中則列出 $\mathrm{bei}_v(x)$ 及兩個導數值。當 $x$ 大約在 20 以內時，級數收斂得很快；若 $x$ 非常大，數值相消會使精度下降，此時改用漸近展開式會更為理想。

公式說明

這些函數是由上述收斂的複數冪級數計算而得：

$$\mathrm{ber}_{\nu}\!\left(x\right) + i\,\mathrm{bei}_{\nu}\!\left(x\right) = \left(\frac{x}{2}\right)^{\nu} e^{\,i\,3\nu\pi/4} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\left(\dfrac{i\,x^{2}}{4}\right)^{k}}{k!\,\Gamma\!\left(\nu+k+1\right)}$$

其中 $\Gamma$ 為伽瑪函數（此處以 Lanczos 近似法求值）。各項利用遞迴關係 $\text{term}_k = \text{term}_{k-1}\cdot(i x^2/4) / [k(v+k)]$ 累加，並以兩個實數累加器分別累計實部與虛部。導數則採用精確關係式 $\mathrm{ber}'_v = (\mathrm{ber}_{v+1}+\mathrm{bei}_{v+1})/\sqrt{2} + (v/x)\mathrm{ber}_v$ 與 $\mathrm{bei}'_v = (\mathrm{bei}_{v+1}-\mathrm{ber}_{v+1})/\sqrt{2} + (v/x)\mathrm{bei}_v$，因此下一階函數同樣以相同定義求值。

複平面，顯示從原點出發、角度為 3π/4 的射線 — 開爾文函數源自沿複平面中射線 x·e^{i3π/4} 求值的貝索函數 J_v。

計算範例（v = 0、x = 1）

當 $v = 0$ 時，級數可化簡為 $\mathrm{ber}_0(x) = \sum(-1)^k(x/2)^{4k}/[(2k)!]^2$ 與 $\mathrm{bei}_0(x) = \sum(-1)^k(x/2)^{4k+2}/[(2k+1)!]^2$。代入 $x = 1$ 可得 $\mathrm{ber}_0(1) \approx 0.984382$ 與 $\mathrm{bei}_0(1) \approx 0.249566$，與標準數表（Abramowitz & Stegun 9.9）一致。