什麼是第一類斯特林數？
帶符號的第一類斯特林數記作 \(s(n,k)\)，它是把下降階乘 \(x(x-1)(x-2)\ldots(x-n+1)\) 展開成 \(x\) 的一般冪次時，各項所對應的係數。它的絕對值 \(c(n,k) = |s(n,k)|\) 則有另一層意義：代表 \(n\) 個元素的排列中，恰好能拆解成 \(k\) 個互不相交循環（cycle）的排列數量。兩者透過符號規則 \(s(n,k) = (-1)^{n-k} c(n,k)\) 相互連結。本計算機回傳的是帶符號的數值，與下降階乘的係數慣例完全一致。
使用方法
請輸入兩個非負整數：\(n\)（規模參數）與 \(k\)（循環數目，也就是冪次的指標）。按下計算後，工具會回傳 \(s(n,k)\)。需要注意幾個特殊情形：當 \(k\) 大於 \(n\) 時結果為 0；\(s(n,n)\) 永遠等於 1；而 \(s(0,0)\) 依定義為 1。
公式說明
我們以一張小型的動態規劃表，套用遞迴式 $$s(n+1,k) = s(n,k-1) - n\,s(n,k)$$ 來逐步建立。起始條件為 \(s(0,0)=1\)，並令 \(s(n,0)=0\)（當 \(n>0\)）以及 \(s(0,k)=0\)（當 \(k>0\)）。由於每一列都只需從上一列推導，因此不必預先儲存龐大的查表資料。遞迴式中那個負號項，正是讓正負號交替出現的關鍵。
運算範例
來計算 \(s(5,2)\)。第 5 列的無符號循環數分別為 \(c(5,1)=24\)、\(c(5,2)=50\)、\(c(5,3)=35\)、\(c(5,4)=10\)、\(c(5,5)=1\)。符號為 \((-1)^{5-2} = -1\)，因此 \(s(5,2) = -50\)。我們可以驗證：$$x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = x^5 - 10x^4 + 35x^3 - 50x^2 + 24x$$，其中 \(x^2\) 的係數確實是 \(-50\)。
常見問題
為什麼結果會是負數？因為這是帶符號的版本；下降階乘中 \(x^k\) 的係數會依 \((-1)^{n-k}\) 規則正負交替。
該如何取得無符號的循環數？取絕對值即可：\(c(n,k) = |s(n,k)|\)。
同一列的所有無符號數值加總會是多少？把整列的 \(c(n,k)\) 對所有 \(k\) 相加，結果恰好等於 \(n!\)（\(n\) 的階乘）。
