पहले प्रकार की स्टर्लिंग संख्या क्या है?
चिह्नित (signed) पहले प्रकार की स्टर्लिंग संख्याएँ, जिन्हें \(s(n,k)\) लिखा जाता है, वे गुणांक हैं जो आपको तब मिलते हैं जब falling factorial यानी \(x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)\) को \(x\) की सामान्य घातों (powers) में विस्तारित किया जाता है। इनके निरपेक्ष मान (absolute values), \(c(n,k) = |s(n,k)|\), \(n\) तत्वों के उन क्रमचयों (permutations) की संख्या गिनते हैं जो ठीक \(k\) अलग-अलग चक्रों (cycles) में टूटते हैं। दोनों चिह्न-नियम \(s(n,k) = (-1)^{n-k} c(n,k)\) से जुड़े हुए हैं। यह कैलकुलेटर चिह्नित मान देता है, जो falling-factorial गुणांक परिपाटी से मेल खाता है।
इसका उपयोग कैसे करें
दो गैर-ऋणात्मक पूर्णांक दर्ज करें: \(n\) (आकार पैरामीटर) और \(k\) (चक्रों की संख्या, यानी घात सूचकांक)। Calculate दबाएँ और टूल \(s(n,k)\) लौटा देगा। यदि \(k\), \(n\) से बड़ा है तो उत्तर 0 होगा; \(s(n,n)\) हमेशा 1 होता है; और परिभाषा के अनुसार \(s(0,0)\) का मान 1 है।
सूत्र की व्याख्या
हम पुनरावृत्ति (recurrence) $$s(n+1,k) = s(n,k-1) - n\,s(n,k)$$ का उपयोग करके एक छोटी डायनामिक-प्रोग्रामिंग तालिका बनाते हैं, जो \(s(0,0)=1\) से शुरू होती है, जहाँ \(n>0\) के लिए \(s(n,0)=0\) और \(k>0\) के लिए \(s(0,k)=0\) होता है। हर पंक्ति पिछली पंक्ति से गणना की जाती है, इसलिए किसी बड़ी लुकअप तालिका की आवश्यकता नहीं पड़ती। पुनरावृत्ति में मौजूद ऋणात्मक पद ही बारी-बारी से बदलते चिह्नों (alternating signs) को उत्पन्न करता है।
हल किया गया उदाहरण
आइए \(s(5,2)\) की गणना करें। पंक्ति 5 के लिए चिह्नरहित चक्र-गणनाएँ इस प्रकार हैं: \(c(5,1)=24\), \(c(5,2)=50\), \(c(5,3)=35\), \(c(5,4)=10\), \(c(5,5)=1\)। चिह्न है \((-1)^{5-2} = -1\), इसलिए \(s(5,2) = -50\)। जाँचें: $$x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = x^5 - 10x^4 + 35x^3 - 50x^2 + 24x$$ और \(x^2\) का गुणांक वास्तव में \(-50\) है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
परिणाम ऋणात्मक क्यों हो सकता है? क्योंकि यह चिह्नित (signed) संस्करण है; falling factorial में \(x^k\) का गुणांक \((-1)^{n-k}\) के अनुसार बारी-बारी से चिह्न बदलता है।
चिह्नरहित चक्र-गणना कैसे प्राप्त करें? निरपेक्ष मान लें: \(c(n,k) = |s(n,k)|\)।
एक पंक्ति में चिह्नरहित मानों का योग कितना होता है? सभी \(k\) पर \(c(n,k)\) का योग \(n!\) (n फैक्टोरियल) के बराबर होता है।
