Qu'est-ce que le nombre de Stirling de première espèce ?
Les nombres de Stirling signés de première espèce, notés \(s(n,k)\), sont les coefficients obtenus lorsque l'on développe la factorielle décroissante \(x(x-1)(x-2)\dots(x-n+1)\) en puissances ordinaires de \(x\). Leur valeur absolue, \(c(n,k) = |s(n,k)|\), dénombre les permutations de \(n\) éléments qui se décomposent en exactement \(k\) cycles disjoints. Les deux quantités sont reliées par la règle de signe \(s(n,k) = (-1)^{n-k}\, c(n,k)\). Ce calculateur renvoie la valeur signée, conformément à la convention des coefficients de la factorielle décroissante.
Comment l'utiliser
Saisissez deux entiers positifs ou nuls : \(n\) (le paramètre de taille) et \(k\) (le nombre de cycles, c'est-à-dire l'indice de la puissance). Cliquez sur calculer et l'outil renvoie \(s(n,k)\). Si \(k\) est supérieur à \(n\), le résultat vaut \(0\) ; \(s(n,n)\) vaut toujours \(1\) ; et \(s(0,0)\) vaut \(1\) par définition.
La formule expliquée
On construit un petit tableau de programmation dynamique à l'aide de la relation de récurrence
$$s(n+1,k) = s(n,k-1) - n\, s(n,k)$$en partant de \(s(0,0)=1\), avec \(s(n,0)=0\) pour \(n>0\) et \(s(0,k)=0\) pour \(k>0\). Chaque ligne se calcule à partir de la précédente, ce qui évite de stocker un grand tableau de référence. C'est le terme négatif de la récurrence qui engendre l'alternance des signes.
Exemple détaillé
Calculons \(s(5,2)\). Pour la ligne 5, les nombres de cycles non signés sont \(c(5,1)=24\), \(c(5,2)=50\), \(c(5,3)=35\), \(c(5,4)=10\), \(c(5,5)=1\). Le signe est \((-1)^{5-2} = -1\), donc \(s(5,2) = -50\). Vérification :
$$x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = x^5 - 10x^4 + 35x^3 - 50x^2 + 24x$$et le coefficient de \(x^2\) est bien \(-50\).
FAQ
Pourquoi le résultat peut-il être négatif ? Parce qu'il s'agit de la version signée ; le coefficient de \(x^k\) dans la factorielle décroissante change de signe selon \((-1)^{n-k}\).
Comment obtenir le nombre de cycles non signé ? Prenez la valeur absolue : \(c(n,k) = |s(n,k)|\).
Que vaut la somme des valeurs non signées sur une ligne ? La somme des \(c(n,k)\) pour tous les \(k\) est égale à \(n!\) (factorielle de \(n\)).
