À quoi sert ce calculateur
Cet outil approche une intégrale définie à l'aide de la quadrature de Gauss-Tchebychev de première espèce, la règle gaussienne associée à la fonction de poids de Tchebychev \(w(x) = 1/\sqrt{1 - x^2}\) sur l'intervalle \([-1, 1]\). Son grand atout : les nœuds et les poids possèdent une forme explicite très simple, sans aucune table à consulter. Les nœuds sont les cosinus d'angles régulièrement espacés et chaque poids vaut exactement \(\pi/n\).
Mode d'emploi
Commencez par choisir le type d'intégrande. Dans le mode par défaut g(x) sur [a,b], entrez une fonction \(g(x)\) quelconque, une borne inférieure \(a\), une borne supérieure \(b\) et le nombre de points de division \(n\). Le calculateur transforme \([-1, 1]\) en \([a, b]\) puis multiplie par \(\sqrt{1 - x_i^2}\) afin d'annuler le poids de Tchebychev implicite : vous obtenez ainsi l'estimation de l'intégrale ordinaire. Dans le mode f(x) sur [−1,1], la fonction est considérée comme l'intégrande de l'intégrale pondérée et les bornes sont fixées à \([-1, 1]\). La syntaxe prise en charge comprend + − * / ^, les parenthèses ainsi que sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln, log, sqrt, abs, sans oublier les constantes pi et e. Les fonctions trigonométriques s'utilisent en radians.
La formule expliquée
En posant \(\text{pas} = \pi/(2n)\) et \(\theta_i = (2i-1)\cdot\text{pas}\), le nœud s'écrit \(x_i = \cos(\theta_i)\) et l'on a \(\sin(\theta_i) = \sqrt{1 - x_i^2}\). Pour une intégrale ordinaire, la règle correspond à la somme de \((b-a)/2\) fois \(\pi/n\) fois \(\sin(\theta_i)\) fois \(g\) évaluée au point transformé :
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\cdot\frac{\pi}{n} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{1-x_i^{2}}\; f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$Quant à l'intégrale pondérée sur \([-1,1]\), elle vaut tout simplement \(\pi/n\) multiplié par la somme des valeurs de \(f\) aux nœuds.
Exemple détaillé
Intégrons \(g(x) = x^2\) entre 0 et 1 avec \(n = 3\). Les trois nœuds donnent les termes \(0{,}4352563\), \(0{,}25\) et \(0{,}0022436\), dont la somme vaut \(0{,}6874999\). En multipliant par \((b-a)/2 = 0{,}5\) puis par \(\pi/3 = 1{,}0471976\), on aboutit à environ \(0{,}359957\). La valeur exacte est \(1/3\) ; en portant \(n\) à 10, on obtient environ \(0{,}33408\), qui se rapproche de \(0{,}3333\).
FAQ
Pourquoi mon résultat polynomial ne tombe-t-il pas juste ? Le fait de retirer le poids de Tchebychev via le facteur \(\sqrt{\phantom{x}}\) ralentit la convergence par rapport à Gauss-Legendre. Augmentez \(n\) pour les fonctions régulières.
Peut-on prendre a égal à b ? Oui : le facteur \((b-a)/2\) rend alors le résultat nul. Et si \(a\) est supérieur à \(b\), le signe s'inverse automatiquement.
Que se passe-t-il si la fonction diverge aux bornes ? Les nœuds se situent strictement à l'intérieur de l'intervalle, ce qui évite généralement les singularités aux extrémités ; en revanche, une valeur indéfinie en un nœud produit un résultat non fini.
