Bu hesaplama aracı ne işe yarar?
Bu araç, belirli bir integrali birinci tür Gauss-Chebyshev kuadratürü ile yaklaşık olarak hesaplar. Bu yöntem, [-1, 1] aralığında \(w(x) = 1/\sqrt{1 - x^2}\) Chebyshev ağırlık fonksiyonuna karşılık gelen Gauss kuralıdır. En büyük avantajı, düğüm noktaları ve ağırlıkların basit ve kapalı bir formüle sahip olmasıdır; yani herhangi bir tabloya bakmaya gerek kalmaz: düğümler eşit aralıklı açıların kosinüsleridir ve her ağırlık \(\pi/n\) değerine eşittir.
Nasıl kullanılır?
Önce bir integrand türü seçin. Varsayılan [a,b] üzerinde g(x) modunda, dilediğiniz sıradan bir \(g(x)\) fonksiyonunu, bir alt sınır \(a\) değerini, bir üst sınır \(b\) değerini ve bölme noktası sayısı \(n\)'i girin. Hesaplayıcı [-1, 1] aralığını [a, b] aralığına eşler ve örtük Chebyshev ağırlığını yok etmek için \(\sqrt{1 - x_i^2}\) ile çarpar; böylece olağan integralin bir tahminini verir. [-1,1] üzerinde f(x) modunda ise fonksiyon, ağırlıklı integralin integrandı olarak ele alınır ve sınırlar [-1, 1] olarak sabittir. Desteklenen söz dizimi şunları içerir: + - * / ^, parantezler ve sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln, log, sqrt, abs ile pi ve e sabitleri. Trigonometrik fonksiyonlar radyan cinsinden çalışır.
Formülün açıklaması
$$\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\cdot\frac{\pi}{n} \sum_{i=1}^{n} \sqrt{1-x_i^{2}}\; f\!\left(\frac{b-a}{2}x_i + \frac{a+b}{2}\right)$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_i &= \cos\!\left(\frac{(2i-1)\pi}{2n}\right) \\ n &= \text{Number of nodes} \end{aligned} \right.$$ \(\text{step} = \pi/(2n)\) ve \(\theta_i = (2i-1)\cdot\text{step}\) olmak üzere düğüm \(x_i = \cos(\theta_i)\) ve \(\sin(\theta_i) = \sqrt{1 - x_i^2}\) şeklindedir. Sıradan bir integral için kural, \((b-a)/2\) ile \(\pi/n\) ile \(\sin(\theta_i)\) ve eşlenen noktadaki \(g\) değerinin çarpımlarının toplamıdır. Ağırlıklı [-1,1] integrali ise yalnızca düğümlerdeki \(f\) değerlerinin toplamının \((\pi/n)\) ile çarpımıdır.
Çözümlü örnek
\(g(x) = x^2\) fonksiyonunu 0'dan 1'e, \(n = 3\) ile integralleyelim. Üç düğüm sırasıyla \(0.4352563\), \(0.25\) ve \(0.0022436\) terimlerini verir ve toplamları \(0.6874999\) olur. Bunu \((b-a)/2 = 0.5\) ile ve \(\pi/3 = 1.0471976\) ile çarptığımızda yaklaşık \(0.359957\) elde ederiz. Gerçek değer \(1/3\)'tür; \(n\) değerini 10'a çıkardığınızda sonuç yaklaşık \(0.33408\) olur ve \(0.3333\)'e doğru yakınsar.
Sık sorulan sorular
Polinom sonucum neden tam olarak tutmuyor? Chebyshev ağırlığını sqrt çarpanıyla bölerek elemek, yakınsamayı Gauss-Legendre'ye göre yavaşlatır. Düzgün fonksiyonlar için \(n\) değerini artırın.
a, b'ye eşit olabilir mi? Evet; \((b-a)/2\) çarpanı sonucu 0 yapar. Eğer a, b'den büyükse işaret otomatik olarak değişir.
Fonksiyon sınırlarda ıraksarsa ne olur? Düğümler aralığın tam olarak içinde yer aldığı için uç nokta tekillikleri genellikle aşılır; ancak herhangi bir düğümde tanımsız bir değer çıkması, sonlu olmayan bir sonuç verir.
