Sanal Sayı Hesaplayıcı nedir?
Sanal birim i, \(i^2 = -1\) eşitliğiyle tanımlanır. i'yi herhangi bir tam sayı kuvvetine yükselttiğinizde sonuç her zaman yalnızca dört değerden birine sadeleşir: 1, i, -1 veya -i. Bu hesaplayıcı, pozitif, negatif ya da sıfır olan herhangi bir n üssünü alır ve \(i^{\,\text{n}}\)'i en sade biçimiyle, gerçek ve sanal kısımlarıyla birlikte verir.
Nasıl kullanılır?
i'yi yükseltmek istediğiniz kuvveti, yani n üssünü yazın ve gönderin. Hesaplayıcı n'i 4'e göre mod alarak eşleşen değeri bulur. Mod sonucu 0–3 aralığına normalize edildiği için negatif üsler de doğru biçimde işlenir.
Formülün açıklaması
i'nin kuvvetleri, dört uzunluğunda tekrar eden bir döngü oluşturur:
\(i^0 = 1\), \(i^1 = i\), \(i^2 = -1\), \(i^3 = -i\) ve ardından yeniden \(i^4 = 1\). Bu nedenle \(i^{\,\text{n}}\), i'nin n'in 4'e bölümünden kalan kuvvetine eşittir.
$$i^{\,\text{n}} = i^{\,(\text{n} \bmod 4)}$$İndisin negatif n için bile her zaman 0, 1, 2 veya 3 olması için \(((\text{n} \bmod 4) + 4) \bmod 4\) işlemini uygular, sonra bunu ilgili değere eşleştiririz.
$$i^{\,\text{n}} = i^{\,m}, \quad m = ((\text{n} \bmod 4) + 4) \bmod 4 = \begin{cases} 1 & m = 0 \\ i & m = 1 \\ -1 & m = 2 \\ -i & m = 3 \end{cases}$$
Çözümlü örnek
\(i^{30}\)'u bulalım. 30'u 4'e bölün: \(30 = 4 \times 7 + 2\), dolayısıyla \(30 \bmod 4 = 2\). Buradan $$i^{30} = i^2 = -1$$ olur. Gerçek kısım -1, sanal kısım ise 0'dır.
Sıkça Sorulan Sorular
\(i^0\) kaçtır? Sıfırdan farklı herhangi bir tabanın sıfırıncı kuvveti 1'dir; bu yüzden \(i^0 = 1\).
Negatif kuvvetler nasıl işlenir? \(i^{-1} = 1/i = -i\). Mod işlemi -1'i 3 indisine normalize eder ve bu da doğru biçimde -i sonucunu verir.
Neden yalnızca dört olası yanıt var? i ile çarpmak, bir sayıyı karmaşık düzlemde 90° döndürür; dört dönüş sizi başlangıç noktasına geri getirir ve böylece 4 adımlı döngü oluşur.
