Gauss-Hermite kuadratürü nedir?
Gauss-Hermite kuadratürü, tüm reel eksen üzerinde \(e^{-x^2}\) Gauss ağırlığı taşıyan integralleri yaklaşık olarak hesaplamak için kullanılan sayısal bir yöntemdir. n noktalı kural, integrali; integral altındaki fonksiyonun özenle seçilmiş n noktada hesaplanan değerlerinin ağırlıklı toplamı olarak yaklaştırır: eksi sonsuzdan artı sonsuza \(e^{-x^2}\,f(x)\,dx\) integrali, i üzerinden alınan \(w_i\,f(x_i)\) toplamına yaklaşık olarak eşittir.$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{\text{Order }n} w_i\, f(x_i)$$ \(x_i\) düğüm noktaları, fizikçilerin Hermite polinomu \(H_n\)'nin kökleridir; \(w_i\) ağırlıkları ise bu polinomların ortogonalliğiyle belirlenir.
Hesaplayıcı nasıl kullanılır?
n derecesini (2 ile 100 arasında nokta sayısı) ve gösterilecek basamak sayısını seçin, ardından düğüm noktaları ile ağırlıkların yer aldığı tabloyu okuyun. Hesaplama standart çift duyarlıklı (double precision) aritmetik kullandığından, gösterilen hassasiyet yaklaşık 15 anlamlı basamakla sınırlıdır; bunun ötesindeki basamakların anlamlı olabilmesi için keyfi hassasiyetli (arbitrary-precision) aritmetik gerekir. n noktalı kural, derecesi \(2n-1\)'e kadar olan her polinomu tam (hatasız) olarak integre eder.
Formülün açıklaması
Düğüm noktaları, \(H_0=1\), \(H_1=2x\), \(H_{k+1}=2x\,H_k - 2k\,H_{k-1}\) yineleme bağıntısıyla tanımlanan \(H_n(x)\) polinomunun n adet reel köküdür. Ağırlıklar ise $$w_i = \frac{2^{n-1}\, n!\, \sqrt{\pi}}{n^2\, [H_{n-1}(x_i)]^2}$$ ile verilir. Bu hesaplayıcı, sayısal açıdan kararlı Golub-Welsch yöntemini kullanır: simetrik üç köşegenli Jacobi matrisini (köşegen sıfır, köşegen dışı \(\sqrt{k/2}\)) oluşturur, bunun özdeğerlerini (düğüm noktaları) ve özvektörlerini bulur, her ağırlığı ise ilgili normalleştirilmiş özvektörün ilk bileşeninin karesinin \(\sqrt{\pi}\) ile çarpımı olarak belirler. Bu yaklaşım, büyük faktöriyellerden kaynaklanan taşma (overflow) sorununu ortadan kaldırır.
Çözümlü örnek (n = 2)
\(H_2(x) = 4x^2 - 2\) polinomunun kökleri \(x = \pm \tfrac{1}{\sqrt{2}} = \pm 0.7071067811865475\)'tir. Her ağırlık \(\dfrac{2^1 \cdot 2! \cdot \sqrt{\pi}}{2^2 \cdot [H_1(x_i)]^2}\) ile bulunur. \(H_1(x)=2x\) olduğundan \([H_1]^2 = 2\) olur ve dolayısıyla her ağırlık $$= \frac{2\cdot 2\cdot 1.7724538509055160}{4\cdot 2} = 0.8862269254527580$$ değerine eşittir. Bunların toplamı \(\sqrt{\pi} = 1.7724538509055160\)'tır; bu da kullanışlı bir kontrol noktasıdır.
Sıkça sorulan sorular
Ağırlıklar neden her zaman \(\sqrt{\pi}\) değerine toplanır? \(f(x)=1\) alındığında, reel eksen üzerinde \(e^{-x^2}\) integrali hesaplanmış olur ve bu da \(\sqrt{\pi}\)'ye eşittir; kuadratür bu sonucu tam olarak yeniden üretir.
Bu hangi Hermite tanımıdır (konvansiyon)? \(e^{-x^2}\) ağırlıklı fizikçi konvansiyonudur. Olasılıkçıların \(e^{-x^2/2}\) ağırlığı için düğüm noktaları ve ağırlıklar bir ölçekleme farkıyla değişir.
\(e^{-x^2}\) çarpanı olmayan bir fonksiyonu integre edebilir miyim? Evet; \(g(x) = e^{x^2}\,f(x)\) yazın, böylece g'nin integrali yaklaşık olarak \(w_i\,e^{x_i^2}\,g(x_i)\) toplamına eşit olur.
