गाउस-हर्मिट क्वाड्रेचर नोड्स और वेट्स कैलकुलेटर

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क्रम n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

प्रदर्शित अंक 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

परिणाम

Gauss-Hermite Quadrature (20-point)

n = 20

भौतिकविदों के वेट e^(-x^2) के लिए नोड्स और वेट्स

i	नोड x_i	वेट w_i
1	-5.38748089001123	2.22939364553414e-13
2	-4.60368244955075	4.39934099227314e-10
3	-3.94476404011563	1.08606937076927e-07
4	-3.34785456738322	7.80255647853208e-06
5	-2.78880605842813	0.000228338636016353
6	-2.25497400208928	0.00324377334223785
7	-1.73853771211659	0.0248105208874637
8	-1.23407621539532	0.109017206020023
9	-0.737473728545394	0.286675505362834
10	-0.245340708300901	0.462243669600610
11	0.245340708300901	0.462243669600610
12	0.737473728545395	0.286675505362835
13	1.23407621539532	0.109017206020023
14	1.73853771211659	0.0248105208874636
15	2.25497400208928	0.00324377334223785
16	2.78880605842813	0.000228338636016355
17	3.34785456738322	7.80255647853212e-06
18	3.94476404011563	1.08606937076928e-07
19	4.60368244955074	4.39934099227318e-10
20	5.38748089001123	2.22939364553414e-13

Self-check: sum of all weights = 1.7724538509055163, which should equal sqrt(pi) = 1.7724538509055159.

गाउस-हर्मिट क्वाड्रेचर क्या है?

गाउस-हर्मिट क्वाड्रेचर एक संख्यात्मक विधि है जिससे पूरी वास्तविक संख्या रेखा पर ऐसे समाकलनों (इंटीग्रल) का सन्निकटन किया जाता है जिनमें गाउसीय वेट \(e^{-x^2}\) मौजूद होता है। n-बिंदु नियम इस समाकलन को n सावधानीपूर्वक चुने गए बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों के भारित योग के रूप में दर्शाता है: ऋण अनंत से धन अनंत तक \(e^{-x^2} f(x)\,dx\) का समाकलन लगभग i पर \(w_i\,f(x_i)\) के योग के बराबर होता है:

$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{\text{Order }n} w_i\, f(x_i)$$

यहाँ नोड्स \(x_i\) भौतिकविदों के हर्मिट बहुपद \(H_n\) के मूल (roots) हैं, और वेट्स \(w_i\) इन बहुपदों की लंबकोणीयता (ऑर्थोगोनैलिटी) से निर्धारित होते हैं।

गाउस-हर्मिट क्वाड्रेचर \(e^{-x^2}\) से भारित समाकल का अनुमान कुछ चतुराई से रखे गए नोड्स के ज़रिए लगाता है।

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

क्रम \(n\) (बिंदुओं की संख्या, 2 से 100 तक) और प्रदर्शित होने वाले अंकों की संख्या चुनें, फिर नोड्स और वेट्स की तालिका देखें। चूँकि गणना मानक डबल प्रिसिज़न पर आधारित है, इसलिए प्रदर्शित परिशुद्धता ल␣गभग 15 सार्थक अंकों तक ही सीमित है — इससे अधिक अंकों को अर्थपूर्ण बनाने के लिए आर्बिट्ररी-प्रिसिज़न अंकगणित की आवश्यकता पड़ेगी। n-बिंदु नियम \(2n-1\) तक की घात वाले हर बहुपद का समाकलन ठीक-ठीक (exact) करता है।

सूत्र की व्याख्या

नोड्स \(H_n(x)\) के \(n\) वास्तविक शून्य (zeros) हैं, जिन्हें इस पुनरावृत्ति से परिभाषित किया जाता है: \(H_0=1\), \(H_1=2x\), \(H_{k+1}=2x\,H_k - 2k\,H_{k-1}\)। वेट्स इस प्रकार हैं:

$$w_i = \frac{2^{n-1}\, n!\, \sqrt{\pi}}{n^2\, [H_{n-1}(x_i)]^2}$$

यह कैलकुलेटर स्थिर गोलब-वेल्श (Golub-Welsch) विधि का प्रयोग करता है: यह सममित त्रिविकर्णीय (tridiagonal) जैकोबी मैट्रिक्स बनाता है (विकर्ण शून्य, विकर्ण के बाहर \(\sqrt{k/2}\)), उसके आइगेनमान (नोड्स) और आइगेनसदिश (eigenvectors) निकालता है, और प्रत्येक वेट को संबंधित सामान्यीकृत आइगेनसदिश के पहले घटक के वर्ग का \(\sqrt{\pi}\) गुना बना देता है। इससे बड़े फ़ैक्टोरियल के कारण होने वाला ओवरफ़्लो टल जाता है।

$$\left\{ \begin{aligned} J\,v_i &= x_i\,v_i, \quad J_{kk}=0,\; J_{k,k+1}=J_{k+1,k}=\sqrt{\tfrac{k}{2}} \\ w_i &= \sqrt{\pi}\,\big(v_{i,1}\big)^2 \end{aligned} \right.$$

हल किया गया उदाहरण (n = 2)

\(H_2(x) = 4x^2 - 2\) के मूल \(x = \pm \tfrac{1}{\sqrt{2}} = \pm 0.7071067811865475\) हैं। प्रत्येक वेट है \(\dfrac{2^1 \cdot 2! \cdot \sqrt{\pi}}{2^2 \cdot [H_1(x_i)]^2}\)। चूँकि \(H_1(x)=2x\), इसलिए \([H_1]^2 = 2\), अतः

$$\text{प्रत्येक वेट} = \frac{2\cdot 2\cdot 1.7724538509055160}{4\cdot 2} = 0.8862269254527580$$

इनका योग \(\sqrt{\pi} = 1.7724538509055160\) होता है, जो एक उपयोगी स्व-जाँच (self-check) है।

n = 2 के लिए दोनों नोड \(\pm\sqrt{1/2}\) पर समान भार के साथ सममित रूप से स्थित होते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

वेट्स का योग हमेशा \(\sqrt{\pi}\) ही क्यों होता है? \(f(x)=1\) रखने पर वास्तविक रेखा पर \(e^{-x^2}\) का समाकलन मिलता है, जो \(\sqrt{\pi}\) के बराबर है; क्वाड्रेचर इसे बिल्कुल ठीक-ठीक पुनरुत्पादित करता है।

यह कौन-सी हर्मिट परिपाटी (convention) है? यह भौतिकविदों की परिपाटी है जिसमें वेट \(e^{-x^2}\) है। प्रायिकतावादियों (probabilists) के वेट \(e^{-x^2/2}\) के लिए नोड्स और वेट्स स्केलिंग के अनुसार भिन्न होते हैं।

क्या मैं बिना \(e^{-x^2}\) गुणक वाले फ़ंक्शन का समाकलन कर सकता हूँ? हाँ — \(g(x) = e^{x^2}\,f(x)\) लिखें, ताकि \(g\) का समाकलन लगभग \(w_i\,e^{x_i^2}\,g(x_i)\) के योग के बराबर हो।