गाउस-हर्मिट क्वाड्रेचर क्या है?
गाउस-हर्मिट क्वाड्रेचर एक संख्यात्मक विधि है जिससे पूरी वास्तविक संख्या रेखा पर ऐसे समाकलनों (इंटीग्रल) का सन्निकटन किया जाता है जिनमें गाउसीय वेट \(e^{-x^2}\) मौजूद होता है। n-बिंदु नियम इस समाकलन को n सावधानीपूर्वक चुने गए बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों के भारित योग के रूप में दर्शाता है: ऋण अनंत से धन अनंत तक \(e^{-x^2} f(x)\,dx\) का समाकलन लगभग i पर \(w_i\,f(x_i)\) के योग के बराबर होता है:
$$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{\text{Order }n} w_i\, f(x_i)$$यहाँ नोड्स \(x_i\) भौतिकविदों के हर्मिट बहुपद \(H_n\) के मूल (roots) हैं, और वेट्स \(w_i\) इन बहुपदों की लंबकोणीयता (ऑर्थोगोनैलिटी) से निर्धारित होते हैं।
कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
क्रम \(n\) (बिंदुओं की संख्या, 2 से 100 तक) और प्रदर्शित होने वाले अंकों की संख्या चुनें, फिर नोड्स और वेट्स की तालिका देखें। चूँकि गणना मानक डबल प्रिसिज़न पर आधारित है, इसलिए प्रदर्शित परिशुद्धता ल␣गभग 15 सार्थक अंकों तक ही सीमित है — इससे अधिक अंकों को अर्थपूर्ण बनाने के लिए आर्बिट्ररी-प्रिसिज़न अंकगणित की आवश्यकता पड़ेगी। n-बिंदु नियम \(2n-1\) तक की घात वाले हर बहुपद का समाकलन ठीक-ठीक (exact) करता है।
सूत्र की व्याख्या
नोड्स \(H_n(x)\) के \(n\) वास्तविक शून्य (zeros) हैं, जिन्हें इस पुनरावृत्ति से परिभाषित किया जाता है: \(H_0=1\), \(H_1=2x\), \(H_{k+1}=2x\,H_k - 2k\,H_{k-1}\)। वेट्स इस प्रकार हैं:
$$w_i = \frac{2^{n-1}\, n!\, \sqrt{\pi}}{n^2\, [H_{n-1}(x_i)]^2}$$यह कैलकुलेटर स्थिर गोलब-वेल्श (Golub-Welsch) विधि का प्रयोग करता है: यह सममित त्रिविकर्णीय (tridiagonal) जैकोबी मैट्रिक्स बनाता है (विकर्ण शून्य, विकर्ण के बाहर \(\sqrt{k/2}\)), उसके आइगेनमान (नोड्स) और आइगेनसदिश (eigenvectors) निकालता है, और प्रत्येक वेट को संबंधित सामान्यीकृत आइगेनसदिश के पहले घटक के वर्ग का \(\sqrt{\pi}\) गुना बना देता है। इससे बड़े फ़ैक्टोरियल के कारण होने वाला ओवरफ़्लो टल जाता है।
$$\left\{ \begin{aligned} J\,v_i &= x_i\,v_i, \quad J_{kk}=0,\; J_{k,k+1}=J_{k+1,k}=\sqrt{\tfrac{k}{2}} \\ w_i &= \sqrt{\pi}\,\big(v_{i,1}\big)^2 \end{aligned} \right.$$हल किया गया उदाहरण (n = 2)
\(H_2(x) = 4x^2 - 2\) के मूल \(x = \pm \tfrac{1}{\sqrt{2}} = \pm 0.7071067811865475\) हैं। प्रत्येक वेट है \(\dfrac{2^1 \cdot 2! \cdot \sqrt{\pi}}{2^2 \cdot [H_1(x_i)]^2}\)। चूँकि \(H_1(x)=2x\), इसलिए \([H_1]^2 = 2\), अतः
$$\text{प्रत्येक वेट} = \frac{2\cdot 2\cdot 1.7724538509055160}{4\cdot 2} = 0.8862269254527580$$इनका योग \(\sqrt{\pi} = 1.7724538509055160\) होता है, जो एक उपयोगी स्व-जाँच (self-check) है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
वेट्स का योग हमेशा \(\sqrt{\pi}\) ही क्यों होता है? \(f(x)=1\) रखने पर वास्तविक रेखा पर \(e^{-x^2}\) का समाकलन मिलता है, जो \(\sqrt{\pi}\) के बराबर है; क्वाड्रेचर इसे बिल्कुल ठीक-ठीक पुनरुत्पादित करता है।
यह कौन-सी हर्मिट परिपाटी (convention) है? यह भौतिकविदों की परिपाटी है जिसमें वेट \(e^{-x^2}\) है। प्रायिकतावादियों (probabilists) के वेट \(e^{-x^2/2}\) के लिए नोड्स और वेट्स स्केलिंग के अनुसार भिन्न होते हैं।
क्या मैं बिना \(e^{-x^2}\) गुणक वाले फ़ंक्शन का समाकलन कर सकता हूँ? हाँ — \(g(x) = e^{x^2}\,f(x)\) लिखें, ताकि \(g\) का समाकलन लगभग \(w_i\,e^{x_i^2}\,g(x_i)\) के योग के बराबर हो।
