यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल संदर्भ अंतराल [-1, 1] पर भार फलन $w(x) = 1$ के साथ $n$-बिंदु गॉस-लोबाटो क्वाड्रेचर नियम के नोड्स (एब्सिसा) $x_i$ और वेट्स $w_i$ की गणना करता है। मानक गॉस-लेजेंड्रे क्वाड्रेचर के विपरीत, गॉस-लोबाटो नियम हमेशा दोनों सिरों $x = -1$ और $x = +1$ को क्वाड्रेचर नोड्स के रूप में रखता है। यह तब बेहद उपयोगी होता है जब सीमा (boundary) के मान मायने रखते हों — उदाहरण के लिए स्पेक्ट्रल एलिमेंट विधियों में। यह विशुद्ध संख्यात्मक विश्लेषण है और हर जगह समान रूप से लागू होता है; यह किसी देश या क्षेत्र विशेष पर निर्भर नहीं करता।

Number line from -1 to 1 with quadrature nodes including both endpoints, each marked by a vertical weight bar — Gauss-Lobatto nodes on [-1, 1] include both endpoints; bar heights suggest the associated weights.

इसका उपयोग कैसे करें

बिंदुओं की संख्या $n$ चुनें (2 से 100 के बीच) और चाहें तो प्रदर्शन परिशुद्धता भी निर्धारित करें। कैलकुलेटर $n$ पंक्तियों की एक तालिका लौटाता है, जिसमें हर पंक्ति में नोड $x_i$ और उसका वेट $w_i$ दिया होता है। नोड्स 0 के सापेक्ष सममित होते हैं और वेट्स भी सममित होते हैं, इसलिए $x_i$ और $-x_i$ का वेट एक ही रहता है। एक अंतर्निहित जाँच के रूप में, सभी वेट्स का योग 2 होता है, जो अंतराल की लंबाई के बराबर है।

सूत्र की व्याख्या

यह नियम समाकलन (integral) को योग $w_1 f(x_1) + \ldots + w_n f(x_n)$ के रूप में सन्निकट करता है और डिग्री $2n-3$ तक के बहुपदों के लिए सटीक होता है।

$$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i)$$

आंतरिक नोड्स $x_2, \ldots, x_{n-1}$ दरअसल $P_{n-1}'(x)$ के $n-2$ शून्य हैं, यानी डिग्री $n-1$ के लेजेंड्रे बहुपद के अवकलज (derivative) के मूल। सिरों का वेट $\frac{2}{n(n-1)}$ होता है, जबकि प्रत्येक आंतरिक नोड $x_i$ का वेट $\frac{2}{n(n-1)\left[P_{n-1}(x_i)\right]^{2}}$ होता है।

$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_1 &= -1,\quad x_{n} = 1 \\ x_i &: P_{n-1}^{\prime}(x_i) = 0 \quad(\text{interior}) \\ w_{1} &= w_{n} = \frac{2}{n\,(n-1)} \\ w_i &= \frac{2}{n\,(n-1)\,\left[P_{n-1}(x_i)\right]^{2}} \end{aligned} \right.$$

कैलकुलेटर आंतरिक मूलों को न्यूटन पुनरावृत्ति (Newton iteration) द्वारा खोजता है, जिसकी शुरुआत चेबिशेव-गॉस-लोबाटो अनुमानों $\cos\!\left(\frac{\pi j}{n-1}\right)$ से होती है, और इससे पूरी डबल परिशुद्धता (लगभग 15-16 सार्थक अंक) मिलती है।

Curve f(x) over [-1,1] approximated by weighted samples at Gauss-Lobatto nodes including the endpoints — The integral is approximated by a weighted sum of function values at the nodes, with the two endpoints always included.

हल किया हुआ उदाहरण (n = 4)

आंतरिक नोड्स समीकरण $P_3'(x) = \frac{15x^2 - 3}{2} = 0$ को हल करते हैं, इसलिए $x = \pm\frac{1}{\sqrt{5}} = \pm 0.4472135955$। सिरे का वेट $\frac{2}{4 \cdot 3} = \frac{1}{6} = 0.1666666667$ है। आंतरिक नोड्स के लिए $P_3\!\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = -0.4472135955$ है, जिसका वर्ग $0.2$ होता है, जिससे वेट $\frac{2}{4 \cdot 3 \cdot 0.2} = \frac{5}{6} = 0.8333333333$ मिलता है। योग $\frac{1}{6} + \frac{5}{6} + \frac{5}{6} + \frac{1}{6} = 2$ होता है, जो नियम की पुष्टि करता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

यह गॉस-लेजेंड्रे से कैसे अलग है? गॉस-लेजेंड्रे सभी नोड्स को पूरी तरह $(-1, 1)$ के अंदर रखता है और डिग्री $2n-1$ तक सटीक होता है। गॉस-लोबाटो दोनों सिरों को नोड्स के रूप में तय करता है और डिग्री $2n-3$ तक सटीक होता है — यानी सीमा को शामिल करने के बदले परिशुद्धता की दो डिग्री का त्याग।

इन्हें किसी सामान्य अंतराल [a, b] पर कैसे इस्तेमाल करूँ? हर नोड को $x \to \frac{b-a}{2}\, x + \frac{a+b}{2}$ से रूपांतरित करें और हर वेट को $\frac{b-a}{2}$ से गुणा करें। यह पेज केवल $[-1, 1]$ के मान देता है।

वेट्स का योग 2 ही क्यों होना चाहिए? $[-1, 1]$ पर $f(x) = 1$ का समाकलन 2 होता है, और यह नियम स्थिर मानों (constants) के लिए सटीक है, इसलिए वेट्स का योग अंतराल की लंबाई के बराबर ही होना चाहिए।

i	नोड x_i	वेट w_i
1	-1	0.005263157894737
2	-0.980743704893914	0.032237123188489
3	-0.935934498812665	0.057181802127567
4	-0.86687797808995	0.08063176399612
5	-0.775368260952056	0.101991499699451
6	-0.663776402290311	0.120709227628675
7	-0.534992864031886	0.136300482358724
8	-0.392353183713909	0.148361554070917
9	-0.239551705922986	0.156580102647475
10	-0.080545937238822	0.160743286387846
11	0.080545937238822	0.160743286387846
12	0.239551705922986	0.156580102647475
13	0.392353183713909	0.148361554070917
14	0.534992864031886	0.136300482358724
15	0.663776402290311	0.120709227628675
16	0.775368260952056	0.101991499699451
17	0.86687797808995	0.08063176399612
18	0.935934498812665	0.057181802127567
19	0.980743704893914	0.032237123188489
20	1	0.005263157894737

गॉस-लोबाटो क्वाड्रेचर नोड्स और वेट्स कैलकुलेटर

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