यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल संदर्भ अंतराल [-1, 1] पर भार फलन \(w(x) = 1\) के साथ \(n\)-बिंदु गॉस-लोबाटो क्वाड्रेचर नियम के नोड्स (एब्सिसा) \(x_i\) और वेट्स \(w_i\) की गणना करता है। मानक गॉस-लेजेंड्रे क्वाड्रेचर के विपरीत, गॉस-लोबाटो नियम हमेशा दोनों सिरों \(x = -1\) और \(x = +1\) को क्वाड्रेचर नोड्स के रूप में रखता है। यह तब बेहद उपयोगी होता है जब सीमा (boundary) के मान मायने रखते हों — उदाहरण के लिए स्पेक्ट्रल एलिमेंट विधियों में। यह विशुद्ध संख्यात्मक विश्लेषण है और हर जगह समान रूप से लागू होता है; यह किसी देश या क्षेत्र विशेष पर निर्भर नहीं करता।
इसका उपयोग कैसे करें
बिंदुओं की संख्या \(n\) चुनें (2 से 100 के बीच) और चाहें तो प्रदर्शन परिशुद्धता भी निर्धारित करें। कैलकुलेटर \(n\) पंक्तियों की एक तालिका लौटाता है, जिसमें हर पंक्ति में नोड \(x_i\) और उसका वेट \(w_i\) दिया होता है। नोड्स 0 के सापेक्ष सममित होते हैं और वेट्स भी सममित होते हैं, इसलिए \(x_i\) और \(-x_i\) का वेट एक ही रहता है। एक अंतर्निहित जाँच के रूप में, सभी वेट्स का योग 2 होता है, जो अंतराल की लंबाई के बराबर है।
सूत्र की व्याख्या
यह नियम समाकलन (integral) को योग \(w_1 f(x_1) + \ldots + w_n f(x_n)\) के रूप में सन्निकट करता है और डिग्री \(2n-3\) तक के बहुपदों के लिए सटीक होता है।
$$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i)$$आंतरिक नोड्स \(x_2, \ldots, x_{n-1}\) दरअसल \(P_{n-1}'(x)\) के \(n-2\) शून्य हैं, यानी डिग्री \(n-1\) के लेजेंड्रे बहुपद के अवकलज (derivative) के मूल। सिरों का वेट \(\frac{2}{n(n-1)}\) होता है, जबकि प्रत्येक आंतरिक नोड \(x_i\) का वेट \(\frac{2}{n(n-1)\left[P_{n-1}(x_i)\right]^{2}}\) होता है।
$$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_1 &= -1,\quad x_{n} = 1 \\ x_i &: P_{n-1}^{\prime}(x_i) = 0 \quad(\text{interior}) \\ w_{1} &= w_{n} = \frac{2}{n\,(n-1)} \\ w_i &= \frac{2}{n\,(n-1)\,\left[P_{n-1}(x_i)\right]^{2}} \end{aligned} \right.$$कैलकुलेटर आंतरिक मूलों को न्यूटन पुनरावृत्ति (Newton iteration) द्वारा खोजता है, जिसकी शुरुआत चेबिशेव-गॉस-लोबाटो अनुमानों \(\cos\!\left(\frac{\pi j}{n-1}\right)\) से होती है, और इससे पूरी डबल परिशुद्धता (लगभग 15-16 सार्थक अंक) मिलती है।
![Curve f(x) over [-1,1] approximated by weighted samples at Gauss-Lobatto nodes including the endpoints](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/inline-2-e6654dfc74/gauss-lobatto-quadrature-nodes-weights-calculator.png)
हल किया हुआ उदाहरण (n = 4)
आंतरिक नोड्स समीकरण \(P_3'(x) = \frac{15x^2 - 3}{2} = 0\) को हल करते हैं, इसलिए \(x = \pm\frac{1}{\sqrt{5}} = \pm 0.4472135955\)। सिरे का वेट \(\frac{2}{4 \cdot 3} = \frac{1}{6} = 0.1666666667\) है। आंतरिक नोड्स के लिए \(P_3\!\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = -0.4472135955\) है, जिसका वर्ग \(0.2\) होता है, जिससे वेट \(\frac{2}{4 \cdot 3 \cdot 0.2} = \frac{5}{6} = 0.8333333333\) मिलता है। योग \(\frac{1}{6} + \frac{5}{6} + \frac{5}{6} + \frac{1}{6} = 2\) होता है, जो नियम की पुष्टि करता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
यह गॉस-लेजेंड्रे से कैसे अलग है? गॉस-लेजेंड्रे सभी नोड्स को पूरी तरह \((-1, 1)\) के अंदर रखता है और डिग्री \(2n-1\) तक सटीक होता है। गॉस-लोबाटो दोनों सिरों को नोड्स के रूप में तय करता है और डिग्री \(2n-3\) तक सटीक होता है — यानी सीमा को शामिल करने के बदले परिशुद्धता की दो डिग्री का त्याग।
इन्हें किसी सामान्य अंतराल [a, b] पर कैसे इस्तेमाल करूँ? हर नोड को \(x \to \frac{b-a}{2}\, x + \frac{a+b}{2}\) से रूपांतरित करें और हर वेट को \(\frac{b-a}{2}\) से गुणा करें। यह पेज केवल \([-1, 1]\) के मान देता है।
वेट्स का योग 2 ही क्यों होना चाहिए? \([-1, 1]\) पर \(f(x) = 1\) का समाकलन 2 होता है, और यह नियम स्थिर मानों (constants) के लिए सटीक है, इसलिए वेट्स का योग अंतराल की लंबाई के बराबर ही होना चाहिए।
