가우스-로바토 구적법 노드 및 가중치 계산기

계산 입력

점의 개수 n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

유효숫자 자릿수 6 10 14 18 22 26 30 34 38 42 46 50

결과

Gauss-Lobatto rule, n = 20

20

points on the interval [-1, 1] · sum of weights = 2

i	노드 x_i	가중치 w_i
1	-1	0.005263157894737
2	-0.980743704893914	0.032237123188489
3	-0.935934498812665	0.057181802127567
4	-0.86687797808995	0.08063176399612
5	-0.775368260952056	0.101991499699451
6	-0.663776402290311	0.120709227628675
7	-0.534992864031886	0.136300482358724
8	-0.392353183713909	0.148361554070917
9	-0.239551705922986	0.156580102647475
10	-0.080545937238822	0.160743286387846
11	0.080545937238822	0.160743286387846
12	0.239551705922986	0.156580102647475
13	0.392353183713909	0.148361554070917
14	0.534992864031886	0.136300482358724
15	0.663776402290311	0.120709227628675
16	0.775368260952056	0.101991499699451
17	0.86687797808995	0.08063176399612
18	0.935934498812665	0.057181802127567
19	0.980743704893914	0.032237123188489
20	1	0.005263157894737

이 계산기의 기능

이 도구는 가중치 함수 \(w(x) = 1\)을 사용해 기준 구간 \([-1, 1]\)에서 \(n\)점 가우스-로바토 구적법의 노드(횡좌표) \(x_i\)와 가중치 \(w_i\)를 계산합니다. 일반적인 가우스-르장드르 구적법과 달리, 가우스-로바토 공식은 항상 두 끝점 \(x = -1\)과 \(x = +1\)을 구적 노드로 강제합니다. 이는 경계값이 중요한 경우(예: 스펙트럼 요소법)에 특히 유용합니다. 순수한 수치해석 기법이므로 지역에 관계없이 어디서나 동일하게 적용되며, 특정 국가에만 해당하는 도구가 아닙니다.

Gauss-Lobatto nodes on [-1, 1] include both endpoints; bar heights suggest the associated weights.

사용 방법

점의 개수 \(n\)(2에서 100 사이)을 선택하고, 필요하면 표시 정밀도를 지정합니다. 계산기는 \(n\)개의 행으로 이루어진 표를 반환하며, 각 행에는 노드 \(x_i\)와 그에 대응하는 가중치 \(w_i\)가 표시됩니다. 노드는 0을 기준으로 대칭이고 가중치 역시 대칭이므로, \(x_i\)와 \(-x_i\)는 동일한 가중치를 가집니다. 내장된 검산 방법으로, 모든 가중치의 합은 구간의 길이인 2와 같습니다.

공식 풀이

이 공식은 적분을 \(w_1 f(x_1) + \cdots + w_n f(x_n)\)의 합으로 근사하며, \(2n-3\)차 이하의 다항식에 대해 정확합니다.

$$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i)$$

내부 노드 \(x_2, \ldots, x_{n-1}\)은 \(n-1\)차 르장드르 다항식의 도함수 \(P_{n-1}^{\prime}(x)\)의 \(n-2\)개의 근입니다. 끝점은 가중치 \(\dfrac{2}{n(n-1)}\)을 가지며, 각 내부 노드 \(x_i\)는 가중치 \(\dfrac{2}{n(n-1)\left[P_{n-1}(x_i)\right]^{2}}\)을 가집니다.

$$\left\{ \begin{aligned} x_1 &= -1,\quad x_{n} = 1 \\ x_i &: P_{n-1}^{\prime}(x_i) = 0 \quad(\text{interior}) \\ w_{1} &= w_{n} = \frac{2}{n\,(n-1)} \\ w_i &= \frac{2}{n\,(n-1)\,\left[P_{n-1}(x_i)\right]^{2}} \end{aligned} \right.$$

계산기는 체비쇼프-가우스-로바토 초기 추정값 \(\cos\!\left(\dfrac{\pi j}{n-1}\right)\)에서 시작하는 뉴턴 반복법으로 내부 근을 찾아내며, 완전한 배정밀도(유효숫자 약 15~16자리)를 제공합니다.

The integral is approximated by a weighted sum of function values at the nodes, with the two endpoints always included.

계산 예시 (n = 4)

내부 노드는 \(P_3^{\prime}(x) = \dfrac{15x^2 - 3}{2} = 0\)을 만족하므로, \(x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{5}} = \pm 0.4472135955\)입니다. 끝점 가중치는 \(\dfrac{2}{4 \cdot 3} = \dfrac{1}{6} = 0.1666666667\)입니다. 내부 노드의 경우 \(P_3\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right) = -0.4472135955\)이고 그 제곱은 \(0.2\)이므로, 가중치는 \(\dfrac{2}{4 \cdot 3 \cdot 0.2} = \dfrac{5}{6} = 0.8333333333\)입니다. 합 \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{6} + \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6} = 2\)가 되어 공식이 확인됩니다.

자주 묻는 질문

가우스-르장드르와는 어떻게 다른가요? 가우스-르장드르는 모든 노드를 \((-1, 1)\) 내부에만 배치하며 \(2n-1\)차까지 정확합니다. 가우스-로바토는 두 끝점을 노드로 고정하고 \(2n-3\)차까지 정확하여, 경계를 포함하는 대신 정밀도 2차수를 양보합니다.

일반 구간 [a, b]에서는 어떻게 사용하나요? 각 노드를 \(x \to \dfrac{b-a}{2}\, x + \dfrac{a+b}{2}\)로 변환하고, 모든 가중치에 \(\dfrac{b-a}{2}\)를 곱하면 됩니다. 이 페이지는 \([-1, 1]\) 구간의 값만 출력합니다.

가중치의 합이 왜 2가 되어야 하나요? \([-1, 1]\)에서 \(f(x) = 1\)을 적분하면 2가 되고, 이 공식은 상수에 대해 정확하므로 가중치의 합은 구간의 길이와 같아야 합니다.