이 계산기의 기능
이 도구는 가중치 함수 \(w(x) = 1\)을 사용해 기준 구간 \([-1, 1]\)에서 \(n\)점 가우스-로바토 구적법의 노드(횡좌표) \(x_i\)와 가중치 \(w_i\)를 계산합니다. 일반적인 가우스-르장드르 구적법과 달리, 가우스-로바토 공식은 항상 두 끝점 \(x = -1\)과 \(x = +1\)을 구적 노드로 강제합니다. 이는 경계값이 중요한 경우(예: 스펙트럼 요소법)에 특히 유용합니다. 순수한 수치해석 기법이므로 지역에 관계없이 어디서나 동일하게 적용되며, 특정 국가에만 해당하는 도구가 아닙니다.
사용 방법
점의 개수 \(n\)(2에서 100 사이)을 선택하고, 필요하면 표시 정밀도를 지정합니다. 계산기는 \(n\)개의 행으로 이루어진 표를 반환하며, 각 행에는 노드 \(x_i\)와 그에 대응하는 가중치 \(w_i\)가 표시됩니다. 노드는 0을 기준으로 대칭이고 가중치 역시 대칭이므로, \(x_i\)와 \(-x_i\)는 동일한 가중치를 가집니다. 내장된 검산 방법으로, 모든 가중치의 합은 구간의 길이인 2와 같습니다.
공식 풀이
이 공식은 적분을 \(w_1 f(x_1) + \cdots + w_n f(x_n)\)의 합으로 근사하며, \(2n-3\)차 이하의 다항식에 대해 정확합니다.
$$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i)$$내부 노드 \(x_2, \ldots, x_{n-1}\)은 \(n-1\)차 르장드르 다항식의 도함수 \(P_{n-1}^{\prime}(x)\)의 \(n-2\)개의 근입니다. 끝점은 가중치 \(\dfrac{2}{n(n-1)}\)을 가지며, 각 내부 노드 \(x_i\)는 가중치 \(\dfrac{2}{n(n-1)\left[P_{n-1}(x_i)\right]^{2}}\)을 가집니다.
$$\left\{ \begin{aligned} x_1 &= -1,\quad x_{n} = 1 \\ x_i &: P_{n-1}^{\prime}(x_i) = 0 \quad(\text{interior}) \\ w_{1} &= w_{n} = \frac{2}{n\,(n-1)} \\ w_i &= \frac{2}{n\,(n-1)\,\left[P_{n-1}(x_i)\right]^{2}} \end{aligned} \right.$$계산기는 체비쇼프-가우스-로바토 초기 추정값 \(\cos\!\left(\dfrac{\pi j}{n-1}\right)\)에서 시작하는 뉴턴 반복법으로 내부 근을 찾아내며, 완전한 배정밀도(유효숫자 약 15~16자리)를 제공합니다.
![Curve f(x) over [-1,1] approximated by weighted samples at Gauss-Lobatto nodes including the endpoints](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/inline-2-e6654dfc74/gauss-lobatto-quadrature-nodes-weights-calculator.png)
계산 예시 (n = 4)
내부 노드는 \(P_3^{\prime}(x) = \dfrac{15x^2 - 3}{2} = 0\)을 만족하므로, \(x = \pm\dfrac{1}{\sqrt{5}} = \pm 0.4472135955\)입니다. 끝점 가중치는 \(\dfrac{2}{4 \cdot 3} = \dfrac{1}{6} = 0.1666666667\)입니다. 내부 노드의 경우 \(P_3\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right) = -0.4472135955\)이고 그 제곱은 \(0.2\)이므로, 가중치는 \(\dfrac{2}{4 \cdot 3 \cdot 0.2} = \dfrac{5}{6} = 0.8333333333\)입니다. 합 \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{6} + \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6} = 2\)가 되어 공식이 확인됩니다.
자주 묻는 질문
가우스-르장드르와는 어떻게 다른가요? 가우스-르장드르는 모든 노드를 \((-1, 1)\) 내부에만 배치하며 \(2n-1\)차까지 정확합니다. 가우스-로바토는 두 끝점을 노드로 고정하고 \(2n-3\)차까지 정확하여, 경계를 포함하는 대신 정밀도 2차수를 양보합니다.
일반 구간 [a, b]에서는 어떻게 사용하나요? 각 노드를 \(x \to \dfrac{b-a}{2}\, x + \dfrac{a+b}{2}\)로 변환하고, 모든 가중치에 \(\dfrac{b-a}{2}\)를 곱하면 됩니다. 이 페이지는 \([-1, 1]\) 구간의 값만 출력합니다.
가중치의 합이 왜 2가 되어야 하나요? \([-1, 1]\)에서 \(f(x) = 1\)을 적분하면 2가 되고, 이 공식은 상수에 대해 정확하므로 가중치의 합은 구간의 길이와 같아야 합니다.
