這個計算器的功能
本工具可計算參考區間 [-1, 1] 上、權函數 \(w(x) = 1\) 之 \(n\) 點高斯-洛巴托（Gauss-Lobatto）求積法則的節點（橫座標）\(x_i\) 與權重 \(w_i\)。與標準的高斯-勒讓德（Gauss-Legendre）求積法不同，高斯-洛巴托法則一律將兩個端點 \(x = -1\) 與 \(x = +1\) 強制納為求積節點，當邊界值具有重要意義時（例如譜元素法）特別有用。這純屬數值分析範疇，世界各地適用方式完全一致，與地區或國家無關。
使用方法
選擇點數 \(n\)（介於 2 到 100 之間），並可自訂顯示精度。計算器會回傳一個含 \(n\) 列的表格，每一列列出節點 \(x_i\) 及其對應權重 \(w_i\)。節點以 0 為中心對稱分佈，權重同樣對稱，因此 \(x_i\) 與 \(-x_i\) 共用相同的權重。作為內建的驗算機制，所有權重的總和應等於 2，也就是整個區間的長度。
公式說明
此法則將積分近似為總和 \(w_1 f(x_1) + \dots + w_n f(x_n)\)，並對 \(2n-3\) 次以下的多項式精確成立。 $$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i\, f(x_i)$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} x_1 &= -1,\quad x_n = 1 \\ x_i &: P_{n-1}^{\prime}(x_i) = 0 \quad(\text{interior}) \\ w_{1} &= w_{n} = \frac{2}{n\,(n-1)} \\ w_i &= \frac{2}{n\,(n-1)\,\left[P_{n-1}(x_i)\right]^{2}} \end{aligned} \right.$$ 內部節點 \(x_2, \dots, x_{n-1}\) 即為 \(P'_{n-1}(x)\)（即 \(n-1\) 次勒讓德多項式之導數）的 \(n-2\) 個零點。兩端點的權重為 \(\frac{2}{n(n-1)}\)，而每個內部節點 \(x_i\) 的權重為 \(\frac{2}{n(n-1)[P_{n-1}(x_i)]^2}\)。計算器以柴比雪夫-高斯-洛巴托初始值 \(\cos\!\left(\frac{\pi j}{n-1}\right)\) 為起點，透過牛頓迭代法求得內部根，可達完整的雙精度（約 15 至 16 位有效數字）。
![Curve f(x) over [-1,1] approximated by weighted samples at Gauss-Lobatto nodes including the endpoints](https://cdn.calculatorlib.com/v5/calculators/inline-2-e6654dfc74/gauss-lobatto-quadrature-nodes-weights-calculator.png)
實例演算（n = 4）
內部節點需解 \(P'_3(x) = \frac{15x^2 - 3}{2} = 0\)，因此 \(x = \pm\frac{1}{\sqrt{5}} = \pm 0.4472135955\)。端點權重為 \(\frac{2}{4 \times 3} = \frac{1}{6} = 0.1666666667\)。對於內部節點，\(P_3\!\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = -0.4472135955\)，其平方為 \(0.2\)，故權重為 \(\frac{2}{4 \times 3 \times 0.2} = \frac{5}{6} = 0.8333333333\)。總和 \(\frac{1}{6} + \frac{5}{6} + \frac{5}{6} + \frac{1}{6} = 2\)，驗證了此法則的正確性。
常見問題
它與高斯-勒讓德法有何不同？高斯-勒讓德法將所有節點都嚴格放在 \((-1, 1)\) 內部，可精確至 \(2n-1\) 次。高斯-洛巴托法則固定兩端點為節點，僅精確至 \(2n-3\) 次，以兩個精度等級換取納入邊界的能力。
如何將這些值應用到一般區間 [a, b]？將每個節點以 \(x \to \frac{b-a}{2}\, x + \frac{a+b}{2}\) 進行映射，並將每個權重乘以 \(\frac{b-a}{2}\)。本頁面僅輸出 [-1, 1] 上的數值。
為什麼權重總和必須為 2？將 \(f(x) = 1\) 在 [-1, 1] 上積分得到 2，而此法則對常數函數精確成立，所以權重總和必然等於區間長度。
