什麼是高斯-埃爾米特求積法？
高斯-埃爾米特求積法（Gauss-Hermite quadrature）是一種數值積分技巧，專門用來處理整條實數線（從負無窮大到正無窮大）上的積分。它以高斯權函數 \(e^{-x^{2}}\) 為核心，對於次數不超過 \(2n-1\) 的任意多項式（在去除權函數的意義下）都能得到精確結果。由於這完全是純數學運算，不論在哪個國家或使用哪種單位制，計算規則都完全一致。此方法廣泛應用於物理學、統計學（計算常態分布下的期望值）以及工程領域。
計算器使用說明
首先選擇被積函數的形式。若您要直接輸入整個欲在 \((-\infty, \infty)\) 上積分的完整函數，請選擇 g(x)；若您已事先把 \(e^{-x^{2}}\) 權函數分離出來，則選擇 f(x)。接著以變數 \(x\) 寫出運算式（可使用 exp、log、sqrt、sin、cos、tan、sinh、cosh、abs、pi、e、^ 以及常見的運算符號）。最後設定節點數 \(n\)。對於平滑、近似高斯型的被積函數而言，節點越多精度越高；一般常用 8 到 30 之間的數值。
公式解析
本方法會在物理學家版埃爾米特多項式 \(H_n(x)\) 的 \(n\) 個根 \(x_i\) 上計算被積函數值，再搭配權重 $$w_i = \frac{2^{n-1}\, n!\, \sqrt{\pi}}{n^{2}\,[H_{n-1}(x_i)]^{2}}$$ 進行加權求和。在 \(f\) 模式下，估計值即為 $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx \;\approx\; \sum_{i=1}^{n} w_i\, e^{x_i^{2}}\,f(x_i)$$ 的總和。在 \(g\) 模式下，則透過修正權重 \(W_i = w_i\, e^{x_i^{2}}\) 把權函數除回去，得到 $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,g(x)\,dx \;\approx\; \sum_{i=1}^{n} w_i\,g(x_i)$$ 的總和。此處的節點與權重是以數值上相當穩定的 Golub-Welsch 演算法產生，該演算法將它們視為對稱三對角 Jacobi 矩陣的特徵值與特徵向量來求解。
實例演練
以 \(f\) 模式為例，取 \(f(x) = 1\)、\(n = 2\)。此時的兩個節點為 \(x = \pm\frac{1}{\sqrt{2}}\)，權重相等且皆為 \(w = \frac{\sqrt{\pi}}{2} = 0.8862269255\)。兩者相加得 $$0.8862269255 + 0.8862269255 = 1.7724538509$$ 恰好等於 \(\sqrt{\pi}\)，也就是 \(e^{-x^{2}}\) 在整條實數線上積分的真實值。同理，若改用 \(g\) 模式，取 \(g(x) = e^{-x^{2}}\)、\(n = 2\)，修正權重也會還原出相同的結果 \(1.7724538509\)。
常見問題
什麼情況下收斂得比較慢？ 當被積函數無法用 \(e^{-x^{2}}\) 乘上多項式良好近似時，例如多項式衰減緩慢、具有厚尾（fat tails），或在實軸上存在奇異點的函數。此時可增加 \(n\)，或改用其他方法。
g 模式中的 \(e^{x_i^{2}}\) 因子有什麼作用？ 它用來抵銷內建的高斯權函數，讓您能直接輸入完整的被積函數。對於外側的節點，這個因子可能變得很大，因此 \(g(x)\) 至少要以 \(e^{-x^{2}}\) 的速度衰減，才能得到理想結果。
這個規則對多項式是精確的嗎？ 是的，在 \(f\) 模式下，它能精確積分次數不超過 \(2n-1\) 的任意多項式。
