高斯-切比雪夫第二類求積法計算器

方法	高斯-切比雪夫（第二類）
節點數 n	20
區間	[-1, 1]
被積函數	g(x) = sqrt(1-x^2)

這個計算器的用途

本工具運用第二類高斯-切比雪夫求積法（Gauss-Chebyshev quadrature），對函數 $g(x)$ 在有限區間 $(a, b)$ 上的定積分進行數值近似。高斯求積法只在少數幾個經過精心挑選的點（稱為「節點」）上計算被積函數的值，再搭配對應的權重加總起來，因此對於平滑函數而言，只需極少的計算次數就能達到很高的精確度。這純粹是數學運算，沒有單位，也不涉及任何特定國家的規則。

如何使用

請以 $x$ 為變數輸入被積函數，例如 sqrt(1-x^2)、exp(x)、1/(1+x^2) 或 sin(x)。支援的函數包括 sin、cos、tan、asin、acos、atan、exp、ln/log、sqrt、abs，以及用 ^ 表示的次方運算，另外還有常數 pi 與 e。接著設定積分下限 $a$、上限 $b$ 和節點數 $n$。對於平滑的被積函數來說，$n$ 越大通常精確度越高；若函數沒有額外加權，$n$ 取 30 到 60 之間的效果就相當理想。

公式解析

第二類求積法建立在區間 $[-1, 1]$ 上、權重為 $\sqrt{1 - x^2}$ 的標準恆等式之上。其節點有封閉解 $x_i = \cos\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right)$，權重則為 $w_i = \frac{\pi}{n+1}\cdot\sin^2\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right)$。若要對一般區間上未加權的 $g$ 進行積分，我們會將 $[-1, 1]$ 對映到 $[a, b]$（雅可比行列式為 $\frac{b-a}{2}$），並除以 $\sqrt{1 - x_i^2}$。這個除法在解析上會被消去，留下實際有效的權重 $W_i = \frac{\pi}{n+1}\cdot\sin\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right)$。因此最終實用的公式為：

$$\int_{a}^{b} g(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\cdot\sum_{i=1}^{n} W_i\cdot g(\text{node}_i)$$

半圓顯示切比雪夫節點是等間隔角度在 x 軸上的投影 — 第二類切比雪夫節點是等間隔角度的投影，向區間中心聚集。

實例演算

以 $g(x) = \sqrt{1 - x^2}$ 在區間 $(-1, 1)$ 上、取 $n = 4$ 為例。其精確值正是單位半圓的面積，即 $\frac{\pi}{2} \approx 1.5707963$。這四項的貢獻加總約為 $1.5708358$——僅用四個節點，就能與真實值吻合到小數點後四位。