À quoi sert ce calculateur
Cet outil approche numériquement l'intégrale définie d'une fonction g(x) sur un intervalle fini (a, b) à l'aide de la quadrature de Gauss-Tchebychev de deuxième espèce. La quadrature de Gauss évalue l'intégrande en un petit nombre de points soigneusement choisis (les nœuds) et les combine avec des poids adaptés, ce qui offre une grande précision pour les fonctions régulières avec très peu d'évaluations. Il s'agit de mathématiques pures : aucune unité ni règle propre à un pays n'entre en jeu.
Comment l'utiliser
Entrez votre intégrande sous forme d'expression en x (par exemple sqrt(1-x^2), exp(x), 1/(1+x^2) ou sin(x)). Les fonctions prises en charge comprennent sin, cos, tan, asin, acos, atan, exp, ln/log, sqrt, abs, les puissances avec ^, ainsi que les constantes pi et e. Indiquez ensuite la borne inférieure \(a\), la borne supérieure \(b\) et le nombre de nœuds \(n\). Un \(n\) plus élevé améliore en général la précision pour les intégrandes régulières ; des valeurs de 30 à 60 conviennent bien aux fonctions sans poids.
La formule expliquée
La règle de deuxième espèce repose sur l'identité canonique sur [-1, 1] avec le poids \(\sqrt{1 - x^2}\). Ses nœuds en forme close sont \(x_i = \cos\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right)\) et ses poids \(w_i = \frac{\pi}{n+1}\cdot\sin^2\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right)\). Pour intégrer une fonction g sans poids sur un intervalle quelconque, on applique le changement de variable de [-1, 1] vers [a, b] (jacobien \(\frac{b-a}{2}\)) et on divise par \(\sqrt{1 - x_i^2}\). Cette division se simplifie analytiquement, laissant le poids effectif \(W_i = \frac{\pi}{n+1}\cdot\sin\!\left(\frac{i\,\pi}{n+1}\right)\). La formule pratique finale est :
$$\int_{a}^{b} g(x)\,dx \approx \frac{b-a}{2}\cdot\sum W_i\cdot g(\text{nœud}_i)$$
Exemple résolu
Prenons \(g(x) = \sqrt{1 - x^2}\) sur (-1, 1) avec \(n = 4\). La valeur exacte correspond à l'aire d'un demi-disque unité, soit \(\frac{\pi}{2} \approx 1{,}5707963\). La somme des quatre contributions vaut environ \(1{,}5708358\) — soit la valeur exacte à quatre décimales près, avec seulement quatre nœuds.
FAQ
Que se passe-t-il si \(a = b\) ? L'intervalle est de largeur nulle : le résultat est donc exactement 0.
Et si \(b\) est inférieur à \(a\) ? La règle fonctionne toujours et renvoie la valeur signée, conformément au fait que l'intégrale de a à b est l'opposée de l'intégrale de b à a.
Pourquoi puis-je obtenir un message « indéfini en un nœud » ? Si g produit NaN ou l'infini en un nœud de quadrature (par exemple le ln d'un nombre négatif ou une division par zéro), le résultat ne peut pas être calculé ; ajustez la fonction ou l'intervalle.
