Qu'est-ce que la quadrature de Gauss-Hermite ?
La quadrature de Gauss-Hermite est une méthode d'intégration numérique destinée aux intégrales calculées sur l'ensemble de la droite réelle, de moins l'infini à plus l'infini. Elle repose sur la fonction de poids gaussienne \(e^{-x^{2}}\) et reste exacte pour tout polynôme de degré inférieur ou égal à \(2n-1\) (une fois le poids retiré). Comme il s'agit de mathématiques pures, la règle est rigoureusement identique quels que soient le pays et le système d'unités. On l'emploie couramment en physique, en statistique (espérances sous une loi normale) et en ingénierie.
Comment utiliser ce calculateur
Commencez par choisir la forme de l'intégrande. Optez pour g(x) si vous saisissez la fonction complète à intégrer sur (-inf, inf) ; choisissez f(x) si vous avez déjà mis en facteur le poids \(e^{-x^{2}}\). Saisissez ensuite l'expression dépendant de la variable x (vous pouvez utiliser exp, log, sqrt, sin, cos, tan, sinh, cosh, abs, pi, e, ^ ainsi que les opérateurs habituels). Indiquez enfin le nombre de nœuds \(n\). Davantage de nœuds offrent une meilleure précision pour les intégrandes lisses, proches d'une gaussienne ; des valeurs comprises entre 8 et 30 sont courantes.
La formule expliquée
La méthode évalue l'intégrande aux \(n\) racines \(x_i\) du polynôme d'Hermite des physiciens \(H_n(x)\), puis les combine à l'aide des poids $$w_i = \frac{2^{n-1}\, n!\, \sqrt{\pi}}{n^{2}\,[H_{n-1}(x_i)]^{2}}.$$ En mode f, l'estimation correspond à $$\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx \;\approx\; \sum_{i=1}^{n} w_i\, e^{x_i^{2}}\,f(x_i)$$ la somme des \(w_i f(x_i)\). En mode g, le poids est rétabli en le divisant grâce au poids modifié \(W_i = w_i e^{x_i^{2}}\), ce qui donne $$\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2}}\,g(x)\,dx \;\approx\; \sum_{i=1}^{n} w_i\,g(x_i)$$ la somme des \(w_i e^{x_i^{2}} g(x_i)\). Les nœuds et les poids utilisés ici sont obtenus par l'algorithme numériquement stable de Golub-Welsch, qui les détermine comme valeurs propres et vecteurs propres d'une matrice de Jacobi tridiagonale symétrique.
Exemple détaillé
Prenons le mode f avec \(f(x) = 1\) et \(n = 2\). Les deux nœuds valent \(x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\), avec des poids égaux \(w = \frac{\sqrt{\pi}}{2} = 0{,}8862269255\). La somme donne $$0{,}8862269255 + 0{,}8862269255 = 1{,}7724538509,$$ soit exactement \(\sqrt{\pi}\), la valeur réelle de l'intégrale de \(e^{-x^{2}}\) sur la droite réelle. De manière équivalente, en mode g avec \(g(x) = e^{-x^{2}}\) et \(n = 2\), les poids modifiés restituent le même résultat : \(1{,}7724538509\).
FAQ
Quand la convergence est-elle lente ? Lorsque l'intégrande n'est pas bien approximé par le produit de \(e^{-x^{2}}\) et d'un polynôme, par exemple pour des fonctions à décroissance polynomiale lente, à queues épaisses, ou présentant des singularités sur l'axe réel. Augmentez \(n\) ou utilisez une autre méthode.
À quoi sert le facteur \(e^{x_i^{2}}\) en mode g ? Il annule le poids gaussien intégré afin que vous puissiez fournir l'intégrande complet. Pour les nœuds extrêmes, il peut devenir très grand : \(g(x)\) doit donc décroître au moins aussi vite que \(e^{-x^{2}}\) pour garantir de bons résultats.
La règle est-elle exacte pour les polynômes ? Oui : en mode f, elle intègre exactement tout polynôme de degré inférieur ou égal à \(2n-1\).
