Calculateur des nœuds et poids de quadrature de Gauss

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Familles Gauss-Legendre Tchebychev de 1re espèce Tchebychev de 2e espèce Laguerre généralisée Hermite Jacobi Gauss-Lobatto

Ordre n

Alpha (Laguerre/Jacobi)

Beta (Jacobi)

Chiffres significatifs 61014

Résultats

Nombre de nœuds

20

legendre quadrature

i	Nœud x_i	Poids w_i
1	0,9931285992	0,0176140071
2	0,9639719273	0,0406014298
3	0,9122344283	0,0626720483
4	0,8391169718	0,0832767416
5	0,7463319065	0,1019301198
6	0,6360536807	0,118194532
7	0,510867002	0,1316886384
8	0,3737060887	0,1420961093
9	0,2277858511	0,1491729865
10	0,0765265211	0,1527533871
11	-0,0765265211	0,1527533871
12	-0,2277858511	0,1491729865
13	-0,3737060887	0,1420961093
14	-0,510867002	0,1316886384
15	-0,6360536807	0,118194532
16	-0,7463319065	0,1019301198
17	-0,8391169718	0,0832767416
18	-0,9122344283	0,0626720483
19	-0,9639719273	0,0406014298
20	-0,9931285992	0,0176140071

Somme des poids	2

Ce que fait ce calculateur

Cet outil calcule les nœuds (abscisses \(x_i\)) et les poids \(w_i\) des règles de quadrature de Gauss classiques. Grâce à eux, vous approchez une intégrale pondérée par une somme pondérée finie, en intégrant exactement les polynômes jusqu'au degré \(2n-1\) pour les règles de Gauss standard. Règles prises en charge : Gauss-Legendre, Tchebychev de première et de deuxième espèce, Laguerre généralisée, Hermite, Jacobi et Gauss-Lobatto.

Comment l'utiliser

Choisissez une règle dans la liste « Familles », sélectionnez l'ordre \(n\) (nombre de nœuds, de 2 à 100), puis, pour Laguerre ou Jacobi, indiquez les paramètres d'exposant Alpha et Beta (chacun doit être strictement supérieur à -1). Le résultat affiche chaque nœud avec son poids, ainsi que la somme des poids, qui doit être égale au moment d'ordre 0 de la fonction de poids (pour Legendre, c'est 2 ; pour Hermite, c'est la racine carrée de pi).

La formule expliquée

Pour une famille de polynômes orthogonaux satisfaisant une relation de récurrence à trois termes, les nœuds sont les racines du polynôme de degré \(n\), et les poids proviennent des vecteurs propres de la matrice de Jacobi J, tridiagonale et symétrique (méthode de Golub-Welsch) :

$$w_i = \mu_0 \left(v_{1,i}\right)^2$$

Les règles de Tchebychev utilisent des formes trigonométriques fermées exactes, Legendre et Lobatto reposent sur l'itération de Newton appliquée au polynôme de Legendre, tandis que Laguerre, Hermite et Jacobi font appel au solveur de valeurs propres de la matrice de Jacobi.

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Gauss quadrature approximates the integral as a weighted sum of the function evaluated at optimally chosen nodes.

Exemple détaillé

Gauss-Legendre avec \(n = 2\) : les nœuds sont plus et moins \(\frac{1}{\sqrt{3}} = 0{,}5773502692\), et les deux poids valent 1, d'où une somme des poids égale à 2. Vérification : l'intégrale de \(x^2\) sur \([-1, 1]\) vaut \(\frac{2}{3}\), et la règle donne

$$1\cdot\frac{1}{3} + 1\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

Five-point Gauss-Legendre nodes and weights on the interval [-1, 1], symmetric about zero.

FAQ

Pourquoi les poids doivent-ils être positifs ? Pour les règles de Gauss classiques, tous les poids sont strictement positifs ; un poids négatif révèle une erreur numérique.

Que signifie la somme des poids ? Elle est égale à l'intégrale de la fonction de poids sur l'intervalle (le moment d'ordre 0). Pour Hermite, \(e^{-x^2}\) s'intègre en \(\sqrt{\pi}\) sur toute la droite réelle.

Pourquoi Alpha et Beta doivent-ils dépasser -1 ? Sinon, la fonction de poids n'est pas intégrable et les moments divergent : aucune règle valide n'existe.